整数 $x, y, z$ に関する以下の5つの問題に答えよ。 (1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。 (2) $1 \le x < y < z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。 (3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。 (4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。 (5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

整数 $x, y, z$ に関する以下の5つの問題に答えよ。

(1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

(2) $1 \le x < y < z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

(3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

(4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

(5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x, y, z$ はそれぞれ $1$ から $5$ までの $5$ 通りの値を取りうるので、全部で $5 \times 5 \times 5$ 通り。

(2) $1 \le x < y < z \le 5$ を満たす $(x, y, z)$ は、 $1$ から $5$ までの $5$ 個の整数から $3$ 個選んで小さい順に並べたものと一対一に対応する。したがって、その個数は ${}_5 \mathrm{C}_3$ で求められる。

${}_5 \mathrm{C}_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす $(x, y, z)$ は、 $1$ から $5$ までの $5$ 種類の整数から重複を許して $3$ 個選ぶ組み合わせの数に等しい。これは、 $5$ 個の箱に同じ種類のボールを $3$ 個入れる場合の数と考えることができる。したがって、その個数は ${}_{5+3-1} \mathrm{C}_3$ で求められる。

${}_{7} \mathrm{C}_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす $(x, y, z)$ は、 $5$ 個のボールを $3$ 個の箱に入れる場合の数と考えることができる。したがって、その個数は ${}_{5+3-1} \mathrm{C}_{3-1}$ で求められる。

${}_{7} \mathrm{C}_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす $(x, y, z)$ を求めるために、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z' \ge 0$ であり、

$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 5$

$x' + y' + z' = 2$

となる。したがって、これは$2$ 個のボールを $3$ 個の箱に入れる場合の数と考えることができる。したがって、その個数は ${}_{2+3-1} \mathrm{C}_{3-1}$ で求められる。

${}_{4} \mathrm{C}_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

3. 最終的な答え

(1) 125

(2) 10

(3) 35

(4) 21

(5) 6