整数 $x, y$ が $\frac{1}{x} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$ を満たすとき、$(x, y)$ の組の数を求める問題です。

1. 問題の内容

整数 $x, y$ が $\frac{1}{x} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$ を満たすとき、$(x, y)$ の組の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$

$\frac{1}{x} = \frac{y+6}{6y}$

$x = \frac{6y}{y+6}$

$x = \frac{6(y+6) - 36}{y+6}$

$x = 6 - \frac{36}{y+6}$

$x$ が整数であるためには、$\frac{36}{y+6}$ が整数でなければなりません。つまり、$y+6$ が $36$ の約数である必要があります。$36$ の約数は $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$ です。

それぞれの $y+6$ の値に対応する $y$ の値を計算し、さらに $x$ の値を計算します。

| $y+6$ | $y$ | $x = 6 - \frac{36}{y+6}$ |

|-------|-------|---------------------------|

| $1$ | $-5$ | $6 - 36 = -30$ |

| $-1$ | $-7$ | $6 - (-36) = 42$ |

| $2$ | $-4$ | $6 - 18 = -12$ |

| $-2$ | $-8$ | $6 - (-18) = 24$ |

| $3$ | $-3$ | $6 - 12 = -6$ |

| $-3$ | $-9$ | $6 - (-12) = 18$ |

| $4$ | $-2$ | $6 - 9 = -3$ |

| $-4$ | $-10$ | $6 - (-9) = 15$ |

| $6$ | $0$ | $6 - 6 = 0$ （$x$ の値は定義されないので除外） |

| $-6$ | $-12$ | $6 - (-6) = 12$ |

| $9$ | $3$ | $6 - 4 = 2$ |

| $-9$ | $-15$ | $6 - (-4) = 10$ |

| $12$ | $6$ | $6 - 3 = 3$ |

| $-12$ | $-18$ | $6 - (-3) = 9$ |

| $18$ | $12$ | $6 - 2 = 4$ |

| $-18$ | $-24$ | $6 - (-2) = 8$ |

| $36$ | $30$ | $6 - 1 = 5$ |

| $-36$ | $-42$ | $6 - (-1) = 7$ |

$y+6 = 6$ つまり $y = 0$ のとき $\frac{1}{y}$ が定義されないため、この場合は除外します。

したがって、$(x, y)$ の組は $17$ 組です。

3. 最終的な答え

17組