自然数の列が群に分けられており、第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の数が入っています。$n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表します。

1. 問題の内容

自然数の列が群に分けられており、第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の数が入っています。$n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表します。

2. 解き方の手順

第 $n$ 群の最初の数を求めるには、第 $(n-1)$ 群までの数の総数を求め、それに1を足せば良いです。

第 $k$ 群には $2^{k-1}$ 個の数が入っているので、第1群から第 $(n-1)$ 群までの数の総数は、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{n-2}$

これは初項1、公比2、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、$2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$ となります。

これは $n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

$2^{n-1}$