$p$ を素数とし、以下の式を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求める問題です。 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}$

1. 問題の内容

$p$ を素数とし、以下の式を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求める問題です。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}$

両辺に $pxy$ を掛けます。

$pxy (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = pxy (\frac{1}{p})$

$py + px = xy$

$xy - px - py = 0$

両辺に $p^2$ を加えます。

$xy - px - py + p^2 = p^2$

$(x - p)(y - p) = p^2$

$x$ と $y$ は正の整数であるため、$x - p$ と $y - p$ は整数の組です。

$p$ は素数なので、$p^2$ の約数は $1, p, p^2$ です。

したがって、$(x - p, y - p)$ の組み合わせは $(1, p^2), (p, p), (p^2, 1), (-1, -p^2), (-p, -p), (-p^2, -1)$ となります。

ただし、$x > 0$ かつ $y > 0$ という条件があるため、$x - p > -p$ かつ $y - p > -p$ でなければなりません。

以下にそれぞれの組み合わせについて、$x$ と $y$ の値を計算します。

* $(x - p, y - p) = (1, p^2)$ のとき、$x = p + 1, y = p^2 + p = p(p + 1)$

* $(x - p, y - p) = (p, p)$ のとき、$x = 2p, y = 2p$

* $(x - p, y - p) = (p^2, 1)$ のとき、$x = p^2 + p = p(p + 1), y = p + 1$

* $(x - p, y - p) = (-1, -p^2)$ のとき、$x = p - 1, y = p - p^2 = p(1-p)$。$y < 0$ なので不適。

* $(x - p, y - p) = (-p, -p)$ のとき、$x = 0, y = 0$。$x > 0$ かつ $y > 0$ なので不適。

* $(x - p, y - p) = (-p^2, -1)$ のとき、$x = p - p^2 = p(1-p), y = p - 1$。$x < 0$ なので不適。

したがって、解は $(p + 1, p(p + 1)), (2p, 2p), (p(p + 1), p + 1)$ の3組です。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (p+1, p(p+1)), (2p, 2p), (p(p+1), p+1)$