30! を素因数分解した結果が $30! = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdots 23^i \cdot 29^j$ と表されるとき、 (1) $a, b, c$ の値を求める。 (2) 30! の末尾に連続する 0 の個数を求める。

1. 問題の内容

30! を素因数分解した結果が $30! = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdots 23^i \cdot 29^j$ と表されるとき、

(1) $a, b, c$ の値を求める。

(2) 30! の末尾に連続する 0 の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a$: 30 以下の 2 の倍数の個数 + 30 以下の 4 の倍数の個数 + 30 以下の 8 の倍数の個数 + 30 以下の 16 の倍数の個数

$a = \lfloor \frac{30}{2} \rfloor + \lfloor \frac{30}{4} \rfloor + \lfloor \frac{30}{8} \rfloor + \lfloor \frac{30}{16} \rfloor = 15 + 7 + 3 + 1 = 26$

$b$: 30 以下の 3 の倍数の個数 + 30 以下の 9 の倍数の個数 + 30 以下の 27 の倍数の個数

$b = \lfloor \frac{30}{3} \rfloor + \lfloor \frac{30}{9} \rfloor + \lfloor \frac{30}{27} \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14$

$c$: 30 以下の 5 の倍数の個数 + 30 以下の 25 の倍数の個数

$c = \lfloor \frac{30}{5} \rfloor + \lfloor \frac{30}{25} \rfloor = 6 + 1 = 7$

(2)

30! の末尾に連続する 0 の個数は, 30! を素因数分解したときの $2$ の指数と $5$ の指数のうち小さい方である。

なぜなら、$10 = 2 \times 5$ であり、0 が一つ増えるためには 2 と 5 のペアが一つ必要だからである。

(1) より, $a = 26$, $c = 7$ なので, 連続する 0 の個数は 7 個である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 26, b = 14, c = 7$

(2) 7 個