$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化すると、$\sqrt{5}+\sqrt{a}$ となる。このとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化すると、$\sqrt{5}+\sqrt{a}$ となる。このとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。分母の共役な複素数 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を分子と分母にかける。

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$

分母は $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5-3 = 2$ となる。

したがって、

$\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$

問題文より、有理化した結果は $\sqrt{5}+\sqrt{a}$ である。

$\sqrt{5}+\sqrt{3} = \sqrt{5}+\sqrt{a}$

したがって、$a=3$ である。

3. 最終的な答え

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