縦 $84$ cm、横 $180$ cmの長方形の壁に、一辺が $a$ cmの正方形のタイルを隙間なく敷き詰めます。ただし、$a$ は整数とします。タイルをできるだけ大きくするには、$a$ の値をいくらにすればよいか求める問題です。

1. 問題の内容

縦 $84$ cm、横 $180$ cmの長方形の壁に、一辺が $a$ cmの正方形のタイルを隙間なく敷き詰めます。ただし、$a$ は整数とします。タイルをできるだけ大きくするには、$a$ の値をいくらにすればよいか求める問題です。

2. 解き方の手順

タイルを隙間なく敷き詰めるためには、$a$ は $84$ と $180$ の公約数である必要があります。

タイルをできるだけ大きくするためには、$a$ は $84$ と $180$ の最大公約数である必要があります。

$84$ と $180$ の最大公約数を求めます。

素因数分解を利用します。

$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$

$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

最大公約数は、共通する素因数の最小の指数を掛け合わせたものです。

$2^2$ と $3$ が共通しているので、最大公約数は $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ となります。

3. 最終的な答え

12