$(\frac{1}{5})^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{5})^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{5})^{10}$ を小数で表したときに、小数第n位に初めて0でない数字が現れると仮定します。

これは、

$10^{-n} < (\frac{1}{5})^{10} < 10^{-n+1}$

が成り立つことを意味します。

両辺の常用対数（底が10の対数）をとると、

$\log_{10}(10^{-n}) < \log_{10}((\frac{1}{5})^{10}) < \log_{10}(10^{-n+1})$

$-n < 10\log_{10}(\frac{1}{5}) < -n+1$

$-n < 10(\log_{10}1 - \log_{10}5) < -n+1$

$-n < 10(0 - \log_{10}5) < -n+1$

$-n < -10\log_{10}5 < -n+1$

ここで、$\log_{10}5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$-n < -10(0.6990) < -n+1$

$-n < -6.99 < -n+1$

$n > 6.99$ かつ $n-1 < 6.99$

$n > 6.99$ かつ $n < 7.99$

この条件を満たす整数 $n$ は $n = 7$ です。

3. 最終的な答え

小数第7位