以下の9つの問題に答えます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$とします。 (1) $3^{37}$の最高位の数字を求めます。 (2) $(\frac{1}{12})^{20}$を小数で表すと初めて現れる0でない数字を求めます。 (3) $3^{30} > 16^n$を満たす最大の整数$n$を求めます。 (4) $3^n > 2^{50}$を満たす最小の整数$n$を求めます。 (5) $(1.2)^n < 1000$を満たす最大の整数$n$を求めます。 (6) $3000 < (\frac{5}{4})^n < 6000$を満たす整数$n$をすべて求めます。 (7) $(0.8)^n < \frac{1}{150}$を満たす最小の整数$n$を求めます。 (8) $3^n$が10桁の数となるような自然数$n$をすべて求めます。 (9) $(0.4)^n$が小数第3位から初めて0でない数字が現れるような整数$n$をすべて求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の9つの問題に答えます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$とします。

(1) $3^{37}$の最高位の数字を求めます。

(2) $(\frac{1}{12})^{20}$を小数で表すと初めて現れる0でない数字を求めます。

(3) $3^{30} > 16^n$を満たす最大の整数$n$を求めます。

(4) $3^n > 2^{50}$を満たす最小の整数$n$を求めます。

(5) $(1.2)^n < 1000$を満たす最大の整数$n$を求めます。

(6) $3000 < (\frac{5}{4})^n < 6000$を満たす整数$n$をすべて求めます。

(7) $(0.8)^n < \frac{1}{150}$を満たす最小の整数$n$を求めます。

(8) $3^n$が10桁の数となるような自然数$n$をすべて求めます。

(9) $(0.4)^n$が小数第3位から初めて0でない数字が現れるような整数$n$をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $3^{37}$の最高位の数字を求めます。

$\log_{10}3^{37} = 37 \log_{10}3 = 37 \times 0.4771 = 17.6527$

$3^{37} = 10^{17.6527} = 10^{17} \times 10^{0.6527}$

ここで、$10^{0.6527}$を考えます。

$\log_{10}4 = 2 \log_{10}2 = 2 \times 0.3010 = 0.6020$

$\log_{10}5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$0.6020 < 0.6527 < 0.6990$なので、$4 < 10^{0.6527} < 5$

したがって、$3^{37}$の最高位の数字は4です。

(2) $(\frac{1}{12})^{20}$を小数で表すと初めて現れる0でない数字を求めます。

$(\frac{1}{12})^{20} = 12^{-20} = (2^2 \times 3)^{-20} = 2^{-40} \times 3^{-20}$

$\log_{10} (2^{-40} \times 3^{-20}) = -40 \log_{10}2 - 20 \log_{10}3 = -40 \times 0.3010 - 20 \times 0.4771 = -12.04 - 9.542 = -21.582$

$(\frac{1}{12})^{20} = 10^{-21.582} = 10^{-22} \times 10^{0.418}$

$\log_{10}2 = 0.3010 < 0.418 < 0.4771 = \log_{10}3$

よって、$2 < 10^{0.418} < 3$

したがって、$(\frac{1}{12})^{20}$を小数で表すと初めて現れる0でない数字は2です。

(3) $3^{30} > 16^n$を満たす最大の整数$n$を求めます。

$3^{30} > (2^4)^n = 2^{4n}$

両辺の常用対数を取ると

$30 \log_{10}3 > 4n \log_{10}2$

$30 \times 0.4771 > 4n \times 0.3010$

$14.313 > 1.204n$

$n < \frac{14.313}{1.204} \approx 11.888$

したがって、$n$の最大値は11です。

(4) $3^n > 2^{50}$を満たす最小の整数$n$を求めます。

両辺の常用対数を取ると

$n \log_{10}3 > 50 \log_{10}2$

$0.4771 n > 50 \times 0.3010$

$0.4771 n > 15.05$

$n > \frac{15.05}{0.4771} \approx 31.54$

したがって、$n$の最小値は32です。

(5) $(1.2)^n < 1000$を満たす最大の整数$n$を求めます。

$(1.2)^n = (\frac{12}{10})^n = (\frac{6}{5})^n = (\frac{2 \times 3}{5})^n$

両辺の常用対数を取ると

$n \log_{10}1.2 < \log_{10}1000$

$n (\log_{10}6 - \log_{10}5) < 3$

$n (\log_{10}2 + \log_{10}3 - (1 - \log_{10}2)) < 3$

$n (2 \log_{10}2 + \log_{10}3 - 1) < 3$

$n (2 \times 0.3010 + 0.4771 - 1) < 3$

$n (0.6020 + 0.4771 - 1) < 3$

$n (1.0791 - 1) < 3$

$0.0791 n < 3$

$n < \frac{3}{0.0791} \approx 37.926$

したがって、$n$の最大値は37です。

(6) $3000 < (\frac{5}{4})^n < 6000$を満たす整数$n$をすべて求めます。

$3000 < (1.25)^n < 6000$

両辺の常用対数を取ると

$\log_{10}3000 < n \log_{10}1.25 < \log_{10}6000$

$\log_{10}3 + 3 < n (\log_{10}5 - \log_{10}4) < \log_{10}6 + 3$

$0.4771 + 3 < n (1 - 0.3010 - 2 \times 0.3010) < 0.3010 + 0.4771 + 3$

$3.4771 < n (1 - 0.9030) < 3.7781$

$3.4771 < 0.097 n < 3.7781$

$\frac{3.4771}{0.097} < n < \frac{3.7781}{0.097}$

$35.846 < n < 38.949$

したがって、$n$は36, 37, 38です。

(7) $(0.8)^n < \frac{1}{150}$を満たす最小の整数$n$を求めます。

$(\frac{4}{5})^n < \frac{1}{150}$

両辺の常用対数を取ると

$n (\log_{10}4 - \log_{10}5) < -\log_{10}150$

$n (2 \log_{10}2 - (1 - \log_{10}2)) < - (\log_{10}1.5 + 2)$

$n (3 \log_{10}2 - 1) < - (\log_{10}3 + \log_{10}5 + 2)$

$n (3 \times 0.3010 - 1) < - (0.4771 + 0.6990 + 2)$

$n (0.9030 - 1) < -3.1761$

$-0.097 n < -3.1761$

$n > \frac{3.1761}{0.097} \approx 32.74$

したがって、$n$の最小値は33です。

(8) $3^n$が10桁の数となるような自然数$n$をすべて求めます。

$10^9 \le 3^n < 10^{10}$

$9 \le n \log_{10}3 < 10$

$9 \le 0.4771 n < 10$

$\frac{9}{0.4771} \le n < \frac{10}{0.4771}$

$18.864 \le n < 20.959$

したがって、$n$は19, 20です。

(9) $(0.4)^n$が小数第3位から初めて0でない数字が現れるような整数$n$をすべて求めます。

$10^{-3} \le (0.4)^n < 10^{-2}$

$-3 \le n \log_{10}0.4 < -2$

$-3 \le n (\log_{10}4 - 1) < -2$

$-3 \le n (2 \log_{10}2 - 1) < -2$

$-3 \le n (2 \times 0.3010 - 1) < -2$

$-3 \le n (0.6020 - 1) < -2$

$-3 \le -0.398 n < -2$

$2 < 0.398 n \le 3$

$\frac{2}{0.398} < n \le \frac{3}{0.398}$

$5.025 < n \le 7.538$

したがって、$n$は6, 7です。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2

(3) 11

(4) 32

(5) 37

(6) 36, 37, 38

(7) 33

(8) 19, 20

(9) 6, 7