傾き $\theta$ のなめらかな斜面上に、ばね定数 $k$ の軽いばねが置かれている。ばねの一端は壁に固定され、他端に質量 $m$ の物体が置かれている。ばねは自然長よりも縮んで静止している。重力加速度の大きさを $g$ とする。 (1) 物体がばねから受ける弾性力の大きさを求める。 (2) ばねの縮みを求める。

1. 問題の内容

傾き $\theta$ のなめらかな斜面上に、ばね定数 $k$ の軽いばねが置かれている。ばねの一端は壁に固定され、他端に質量 $m$ の物体が置かれている。ばねは自然長よりも縮んで静止している。重力加速度の大きさを $g$ とする。

(1) 物体がばねから受ける弾性力の大きさを求める。

(2) ばねの縮みを求める。

2. 解き方の手順

(1) 物体が静止しているとき、斜面方向の力のつり合いが成り立っている。物体には、重力、垂直抗力、ばねの弾性力が働いている。斜面方向の力のつり合いの式を立てる。

重力の斜面方向成分は $mg \sin{\theta}$ である。

ばねの弾性力の大きさは $F$ とする。

斜面方向の力のつり合いの式は

$F = mg \sin{\theta}$

(2) ばねの縮みを $x$ とする。

ばねの弾性力の大きさは $F = kx$ である。

(1)で求めた弾性力の大きさと、$F = kx$ を用いると、

$kx = mg \sin{\theta}$

よって、$x = \frac{mg \sin{\theta}}{k}$

3. 最終的な答え

(1) 物体がばねから受ける弾性力の大きさ: $mg \sin{\theta}$

(2) ばねの縮み: $\frac{mg \sin{\theta}}{k}$