重さ $2.0N$ の小球が軽い糸とばねに繋がれて静止している。糸は鉛直方向と $60^\circ$ の角をなしており、ばね定数は $10N/m$ である。ばねの自然長からの伸びを求める。

1. 問題の内容

重さ $2.0N$ の小球が軽い糸とばねに繋がれて静止している。糸は鉛直方向と $60^\circ$ の角をなしており、ばね定数は $10N/m$ である。ばねの自然長からの伸びを求める。

2. 解き方の手順

まず、小球にはたらく力を図示する。

- 重力：$W = 2.0N$

- 糸の張力：$T$

- ばねの力：$F$

小球が静止しているので、力のつり合いが成り立っている。水平方向と鉛直方向について、力のつり合いの式を立てる。

水平方向：$F = T \sin{60^\circ}$

鉛直方向：$W = T \cos{60^\circ}$

これらの式から、まず糸の張力 $T$ を求める。

$T = \frac{W}{\cos{60^\circ}} = \frac{2.0N}{0.5} = 4.0N$

次に、ばねの力 $F$ を求める。

$F = T \sin{60^\circ} = 4.0N \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}N$

最後に、ばねの伸び $x$ をフックの法則 $F = kx$ から求める。ここで $k$ はばね定数である。

$x = \frac{F}{k} = \frac{2\sqrt{3}N}{10N/m} = \frac{\sqrt{3}}{5}m$

$\sqrt{3} \approx 1.73$ なので

$x \approx \frac{1.73}{5} = 0.346 m$

3. 最終的な答え

ばねの自然の長さからの伸びは $\frac{\sqrt{3}}{5} m \approx 0.346 m$ である。