$n$ を正の整数とし、$x$ の不等式 $\frac{|x-\alpha - \beta|}{\beta - \alpha} < n$ について考える。 (1) $n=1$ のときの解を求める。 (2) 解に $0$ が含まれるような $n$ のうち最小のものを求める。 (3) 解に正の整数が $20$ 個以上含まれるような $n$ のうち最小のものを求める。 ただし、問題文には $\alpha, \beta$ の具体的な値が書かれていないので、$\alpha=1, \beta=2$ として問題を解く。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とし、$x$ の不等式 $\frac{|x-\alpha - \beta|}{\beta - \alpha} < n$ について考える。

(1) $n=1$ のときの解を求める。

(2) 解に $0$ が含まれるような $n$ のうち最小のものを求める。

(3) 解に正の整数が $20$ 個以上含まれるような $n$ のうち最小のものを求める。

ただし、問題文には $\alpha, \beta$ の具体的な値が書かれていないので、$\alpha=1, \beta=2$ として問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha=1, \beta=2$ を与えられた不等式に代入すると、

$$|x - 3| < n$$

これは、

$$-n < x - 3 < n$$

と変形でき、さらに

$$3 - n < x < 3 + n$$

と変形できる。

(1) $n=1$ のとき、解は

$$3 - 1 < x < 3 + 1$$

$$2 < x < 4$$

したがって、ウ は 3、エ は 1 である。

$$3 - \sqrt{1} < x < 3 + \sqrt{1}$$

(2) 解に $0$ が含まれるとき、$3 - n < 0 < 3 + n$ である必要がある。$3-n < 0$ より $n > 3$。したがって、最小の $n$ は $4$ である。

(3) 解に正の整数が $20$ 個以上含まれるとき、

$3+n > 20$ となれば良い。

$3+n > 20$ を満たす最小の $n$ は $n > 17$ より $n=18$ である。

ただし、$3-n$ が負の値の場合も考慮する必要がある。

$3 - n$ が負の値のときは、$3 - n < 1$ とすると、$n > 2$ より、常に正の整数が含まれている。

解に含まれる正の整数は、$4, 5, ..., 3+n$ である。

これらの整数の個数は、$(3+n) - 3 = n$ 個である。

したがって、$n \geq 20$ となれば良い。よって、最小の $n$ は $20$ である。

3. 最終的な答え

ウ: 3

エ: 1

オ: 4

カキ: 20