与えられた関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心を0としたもの）せよ。 (1) $f(x) = \sin 2x$ (2) $g(x) = \cos \frac{x}{2}$

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心を0としたもの）せよ。

(1) $f(x) = \sin 2x$

(2) $g(x) = \cos \frac{x}{2}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は以下の式で与えられます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

(1) $f(x) = \sin 2x$ の場合

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = 2\cos 2x$, $f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(x) = -4\sin 2x$, $f''(0) = -4\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -8\cos 2x$, $f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

$f^{(4)}(x) = 16\sin 2x$, $f^{(4)}(0) = 16\sin(0) = 0$

$f^{(5)}(x) = 32\cos 2x$, $f^{(5)}(0) = 32\cos(0) = 32$

したがって、

$\sin 2x = 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{32}{5!}x^5 + \cdots$

$\sin 2x = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 - \cdots$

$\sin 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(2) $g(x) = \cos \frac{x}{2}$ の場合

$g(0) = \cos(0) = 1$

$g'(x) = -\frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}$, $g'(0) = -\frac{1}{2}\sin(0) = 0$

$g''(x) = -\frac{1}{4}\cos \frac{x}{2}$, $g''(0) = -\frac{1}{4}\cos(0) = -\frac{1}{4}$

$g'''(x) = \frac{1}{8}\sin \frac{x}{2}$, $g'''(0) = \frac{1}{8}\sin(0) = 0$

$g^{(4)}(x) = \frac{1}{16}\cos \frac{x}{2}$, $g^{(4)}(0) = \frac{1}{16}\cos(0) = \frac{1}{16}$

したがって、

$\cos \frac{x}{2} = 1 + 0x + \frac{-\frac{1}{4}}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{\frac{1}{16}}{4!}x^4 + \cdots$

$\cos \frac{x}{2} = 1 - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{384}x^4 - \cdots$

$\cos \frac{x}{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (\frac{x}{2})^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n (2n)!}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(2) $\cos \frac{x}{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n (2n)!}$