$(x+y+z)^6$ の展開式における $x^2 y^2 z^2$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

$(x+y+z)^6$ の展開式における $x^2 y^2 z^2$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

多項定理を用いて展開式における $x^2 y^2 z^2$ の項の係数を求める。多項定理は、一般に

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}$

と表される。

この問題の場合、$n=6$, $m=3$, $x_1 = x$, $x_2 = y$, $x_3 = z$, $k_1=2$, $k_2=2$, $k_3=2$ であるから、$x^2 y^2 z^2$ の項の係数は、

$\frac{6!}{2! 2! 2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{720}{8} = 90$

となる。

3. 最終的な答え

90