$(x + 2y + 3z)^6$ の展開式における $xy^3z^2$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x + 2y + 3z)^6$ の展開式における $xy^3z^2$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を使用します。$(x_1 + x_2 + ... + x_m)^n$ の展開式における $x_1^{k_1} x_2^{k_2} ... x_m^{k_m}$ の係数は、

$$\frac{n!}{k_1! k_2! ... k_m!}$$

です。ここで、 $k_1 + k_2 + ... + k_m = n$ を満たします。

この問題では、$(x + 2y + 3z)^6$ の展開式における $xy^3z^2$ の係数を求めます。

$x$ の指数は $1$, $y$ の指数は $3$, $z$ の指数は $2$ です。したがって、$1+3+2=6$ となり、多項定理を使用できます。

$x$ の係数は $1$, $y$ の係数は $2$, $z$ の係数は $3$ です。

多項定理により、$xy^3z^2$ の係数は、

$$\frac{6!}{1!3!2!} \times 1^1 \times 2^3 \times 3^2 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} \times 1 \times 8 \times 9 = \frac{720}{12} \times 72 = 60 \times 72 = 4320$$

となります。

3. 最終的な答え

4320