次の4つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \cos^2 x dx$ (2) $\int \sin^2 2x dx$ (3) $\int \cos 3x \sin x dx$ (4) $\int \sin 2x \sin x dx$

1. 問題の内容

次の4つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \cos^2 x dx$

(2) $\int \sin^2 2x dx$

(3) $\int \cos 3x \sin x dx$

(4) $\int \sin 2x \sin x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \cos^2 x dx$ を計算する。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いる。

$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(2) $\int \sin^2 2x dx$ を計算する。

$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$ を用いる。

$\int \sin^2 2x dx = \int \frac{1 - \cos 4x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 4x) dx = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{4} \sin 4x) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8} \sin 4x + C$

(3) $\int \cos 3x \sin x dx$ を計算する。

積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$ を用いる。

$\cos 3x \sin x = \sin x \cos 3x = \frac{1}{2} (\sin(x+3x) + \sin(x-3x)) = \frac{1}{2} (\sin 4x + \sin(-2x)) = \frac{1}{2} (\sin 4x - \sin 2x)$

$\int \cos 3x \sin x dx = \int \frac{1}{2} (\sin 4x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 4x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{4} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 2x) + C = -\frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(4) $\int \sin 2x \sin x dx$ を計算する。

積和の公式 $\sin A \sin B = -\frac{1}{2} (\cos(A+B) - \cos(A-B))$ を用いる。

$\sin 2x \sin x = -\frac{1}{2} (\cos(2x+x) - \cos(2x-x)) = -\frac{1}{2} (\cos 3x - \cos x)$

$\int \sin 2x \sin x dx = \int -\frac{1}{2} (\cos 3x - \cos x) dx = -\frac{1}{2} \int (\cos 3x - \cos x) dx = -\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin 3x - \sin x) + C = -\frac{1}{6} \sin 3x + \frac{1}{2} \sin x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \cos^2 x dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(2) $\int \sin^2 2x dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8} \sin 4x + C$

(3) $\int \cos 3x \sin x dx = -\frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(4) $\int \sin 2x \sin x dx = -\frac{1}{6} \sin 3x + \frac{1}{2} \sin x + C$