与えられた等式 $\frac{3x+2}{x^2(2x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{2x+1}$ が成り立つような定数 $a$, $b$, $c$ の値を求め、その結果を用いて不定積分 $\int \frac{3x+2}{x^2(2x+1)} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\frac{3x+2}{x^2(2x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{2x+1}$ が成り立つような定数 $a$, $b$, $c$ の値を求め、その結果を用いて不定積分 $\int \frac{3x+2}{x^2(2x+1)} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式から $a$, $b$, $c$ の値を求めます。等式の両辺に $x^2(2x+1)$ を掛けると、

$$3x+2 = a x(2x+1) + b(2x+1) + cx^2$$

$$3x+2 = 2ax^2 + ax + 2bx + b + cx^2$$

$$3x+2 = (2a+c)x^2 + (a+2b)x + b$$

この式が恒等式であるためには、各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

\begin{align*} \label{eq:1} 2a+c &= 0 \\ a+2b &= 3 \\ b &= 2 \end{align*}

$b=2$ を $a+2b=3$ に代入すると、 $a+4=3$ より $a=-1$ が得られます。

次に、 $a=-1$ を $2a+c=0$ に代入すると、 $-2+c=0$ より $c=2$ が得られます。

したがって、$a=-1$, $b=2$, $c=2$ となります。

次に、これらの値を用いて不定積分を計算します。

\begin{align*} \int \frac{3x+2}{x^2(2x+1)} dx &= \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{2}{2x+1} \right) dx \\ &= -\int \frac{1}{x} dx + 2\int \frac{1}{x^2} dx + 2\int \frac{1}{2x+1} dx \\ &= -\ln|x| + 2\left(-\frac{1}{x}\right) + 2\left(\frac{1}{2}\ln|2x+1|\right) + C \\ &= -\ln|x| - \frac{2}{x} + \ln|2x+1| + C \\ &= \ln\left|\frac{2x+1}{x}\right| - \frac{2}{x} + C \end{align*}

3. 最終的な答え

$a = -1$, $b = 2$, $c = 2$

$\int \frac{3x+2}{x^2(2x+1)} dx = \ln\left|\frac{2x+1}{x}\right| - \frac{2}{x} + C$