2次関数 $y = -x^2 + 4ax + 4a$ の最大値を $m$ とするとき、$m$を $a$ で表し、$m$ の最小値と、その時の $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4ax + 4a$ の最大値を $m$ とするとき、$m$を $a$ で表し、$m$ の最小値と、その時の $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $y = -x^2 + 4ax + 4a$ を平方完成します。

\begin{align*}

y &= -(x^2 - 4ax) + 4a \\

&= -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) + 4a \\

&= -(x - 2a)^2 + 4a^2 + 4a

\end{align*}

したがって、2次関数 $y = -x^2 + 4ax + 4a$ の頂点の座標は $(2a, 4a^2 + 4a)$ となり、最大値 $m$ は

$m = 4a^2 + 4a$

となります。

次に、$m = 4a^2 + 4a$ の最小値を求めます。

$m = 4a^2 + 4a = 4(a^2 + a)$

$m = 4(a^2 + a + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})$

$m = 4((a + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4})$

$m = 4(a + \frac{1}{2})^2 - 1$

したがって、$m$ の最小値は $-1$ であり、そのときの $a$ の値は $-\frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

最大値 $m = 4a^2 + 4a$

最小値 $-1$, $a = -\frac{1}{2}$