マッチ棒を使って正方形を並べていく。1番目の図形はマッチ棒を4本使い、正方形の一辺に1本の棒が使われている。50番目の図形を作るのに必要なマッチ棒の本数を求める。

1. 問題の内容

マッチ棒を使って正方形を並べていく。1番目の図形はマッチ棒を4本使い、正方形の一辺に1本の棒が使われている。50番目の図形を作るのに必要なマッチ棒の本数を求める。

2. 解き方の手順

まず、図形の番号とマッチ棒の本数の関係性を探す。

1番目の図形：4本

2番目の図形：12本

3番目の図形：24本

4番目の図形：40本

それぞれの図形のマッチ棒の本数を $a_n$ とする。

各項の差を計算する。

$a_2 - a_1 = 12 - 4 = 8$

$a_3 - a_2 = 24 - 12 = 12$

$a_4 - a_3 = 40 - 24 = 16$

差が等差数列になっているため、$a_n$ は $n$ の2次式で表されると予想できる。

$a_n = An^2 + Bn + C$ とおく。

$a_1 = A + B + C = 4$

$a_2 = 4A + 2B + C = 12$

$a_3 = 9A + 3B + C = 24$

2つ目の式から1つ目の式を引くと

$3A + B = 8$

3つ目の式から2つ目の式を引くと

$5A + B = 12$

2つの式を引き算すると

$2A = 4$

$A = 2$

$3(2) + B = 8$

$6 + B = 8$

$B = 2$

$2 + 2 + C = 4$

$4 + C = 4$

$C = 0$

したがって、$a_n = 2n^2 + 2n = 2n(n+1)$

50番目の図形のマッチ棒の本数は、

$a_{50} = 2(50)(50+1) = 2(50)(51) = 100(51) = 5100$

別の解き方として、

n番目の図形は、縦にn+1本のマッチ棒がn本並び、横にn+1本のマッチ棒がn本並んでいると考えると、

マッチ棒の本数は、$2n(n+1)$ となる。

50番目の図形のマッチ棒の本数は、$2 * 50 * (50+1) = 2 * 50 * 51 = 5100$本となる。

3. 最終的な答え

5100