$x$を実数とするとき、$y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10$とする。$t = x^2 + 2x$とおくとき、$y$を$t$で表し、$y$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x$を実数とするとき、$y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10$とする。$t = x^2 + 2x$とおくとき、$y$を$t$で表し、$y$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$を$t$の式で表す。

$t = x^2 + 2x$より、$y = t^2 + 8t + 10$となる。

この$t$の式を平方完成する。

$y = (t^2 + 8t) + 10 = (t^2 + 8t + 16) - 16 + 10 = (t + 4)^2 - 6$

次に、$t$の範囲を求める。

$t = x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1$

$x$は実数なので、$(x + 1)^2 \ge 0$である。

したがって、$t \ge -1$となる。

$y = (t + 4)^2 - 6$は、$t \ge -1$の範囲で、$t = -1$のとき最小値をとる。

最小値は、$y = (-1 + 4)^2 - 6 = 3^2 - 6 = 9 - 6 = 3$

$t = -1$のとき、$x$の値を求める。

$t = x^2 + 2x = -1$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

3. 最終的な答え

$y = (t + 4)^2 - 6$

$y$は$x = -1$で最小値$3$をとる。