$\sum_{k=n+1}^{2n} k$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=n+1}^{2n} k$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=n+1}^{2n} k$ を計算するために、次の公式を利用する。

$\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$

まず、与えられた和を次のように変形する。

$\sum_{k=n+1}^{2n} k = \sum_{k=1}^{2n} k - \sum_{k=1}^{n} k$

次に、上記の公式を適用する。

$\sum_{k=1}^{2n} k = \frac{2n(2n+1)}{2} = n(2n+1) = 2n^2 + n$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=n+1}^{2n} k = (2n^2 + n) - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2(2n^2+n) - n(n+1)}{2} = \frac{4n^2+2n - n^2 - n}{2} = \frac{3n^2 + n}{2}$

$\sum_{k=n+1}^{2n} k = \frac{n(3n+1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+1)}{2}$