この問題は、以下の3つのパートに分かれています。 (1) $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - \frac{1}{x^2}$ と $x^4 - \frac{1}{x^4}$ の値を求める。 (2) $x = \frac{2}{3 + \sqrt{5}}$、$y = \frac{2}{3 - \sqrt{5}}$ とするとき、$x + y$、$xy$、$x^3 + y^3$ の値を求める。また、$\sqrt{(x - y)^2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $\frac{1}{b}$ の値を求める。 (3) $a + b + c = 3$、$ab + bc + ca = 1$、$abc = -1$ のとき、$a^2 + b^2 + c^2$ と $(a + b)(b + c)(c + a)$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、一つずつ丁寧に解いていきます。

1. 問題の内容

この問題は、以下の3つのパートに分かれています。

(1) $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - \frac{1}{x^2}$ と $x^4 - \frac{1}{x^4}$ の値を求める。

(2) $x = \frac{2}{3 + \sqrt{5}}$、$y = \frac{2}{3 - \sqrt{5}}$ とするとき、$x + y$、$xy$、$x^3 + y^3$ の値を求める。また、$\sqrt{(x - y)^2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $\frac{1}{b}$ の値を求める。

(3) $a + b + c = 3$、$ab + bc + ca = 1$、$abc = -1$ のとき、$a^2 + b^2 + c^2$ と $(a + b)(b + c)(c + a)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ の両辺を2乗すると、

$(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2})^2$

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

* $x^2 - \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})(x + \frac{1}{x})$ なので、$x + \frac{1}{x}$を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2 = 6$

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ (∵x > 0よりx + 1/x > 0)

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) = \sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

* $x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 2\sqrt{3} \times 4 = 8\sqrt{3}$

(2)

* $x = \frac{2}{3 + \sqrt{5}} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{2}{3 - \sqrt{5}} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

* $x + y = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$xy = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

* $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = 3^3 - 3 \times 1 \times 3 = 27 - 9 = 18$

* $x - y = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$

$\sqrt{(x - y)^2} = |x - y| = |-\sqrt{5}| = \sqrt{5}$

$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、整数部分 $a = 2$、小数部分 $b = \sqrt{5} - 2$

$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

(3)

* $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

$3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1$

$9 = a^2 + b^2 + c^2 + 2$

$a^2 + b^2 + c^2 = 7$

* $(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = 3 \times 1 - (-1) = 3 + 1 = 4$

3. 最終的な答え

(1)

$x^2 - \frac{1}{x^2} = 2\sqrt{3}$

$x^4 - \frac{1}{x^4} = 8\sqrt{3}$

(2)

$x + y = 3$

$xy = 1$

$x^3 + y^3 = 18$

$a = 2$

$\frac{1}{b} = \sqrt{5} + 2$

(3)

$a^2 + b^2 + c^2 = 7$

$(a + b)(b + c)(c + a) = 4$