問題は2つあります。 一つ目は、不等式 $\frac{(2x^2 + 2) + (x^2 - x + 1)}{2} > \sqrt{(2x^2+2)(x^2 - x + 1)}$ が実数 $x$ に対して成り立つことを示す問題です。 二つ目は、正の実数 $x$ に対して、$f(x) = x + \frac{1}{x}$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

一つ目は、不等式 $\frac{(2x^2 + 2) + (x^2 - x + 1)}{2} > \sqrt{(2x^2+2)(x^2 - x + 1)}$ が実数 $x$ に対して成り立つことを示す問題です。

二つ目は、正の実数 $x$ に対して、$f(x) = x + \frac{1}{x}$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 不等式の証明

左辺と右辺がともに正であることに注意します。相加相乗平均の関係を使うことを考えます。

$a = 2x^2 + 2$ , $b = x^2 - x + 1$ とおくと、示すべき不等式は $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$ となります。

相加相乗平均の不等式 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ より、$a \neq b$ のとき不等号が成り立ちます。

$2x^2 + 2 = x^2 - x + 1$ を解くと、$x^2 + x + 1 = 0$ となります。

この二次方程式の判別式 $D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ なので、実数解を持ちません。

したがって、$2x^2 + 2 \neq x^2 - x + 1$ がすべての実数 $x$ に対して成り立ち、$a \neq b$ なので、不等式 $\frac{(2x^2 + 2) + (x^2 - x + 1)}{2} > \sqrt{(2x^2+2)(x^2 - x + 1)}$ が成り立ちます。

(2) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ の最小値を求める

$x$ が正の実数のとき、相加相乗平均の不等式より、$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{1} = 2$ が成り立ちます。

等号成立は $x = \frac{1}{x}$ のとき、つまり $x^2 = 1$ のときです。$x>0$ より $x=1$ のときに等号が成立します。

したがって、$f(x)$ の最小値は $2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $\frac{(2x^2 + 2) + (x^2 - x + 1)}{2} > \sqrt{(2x^2+2)(x^2 - x + 1)}$ が実数 $x$ に対して成り立つ。

(2) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ の最小値は $2$ である。