$(a + \frac{b}{2} + 3c)^8$ の展開式における $a^3 b^3 c^2$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

$(a + \frac{b}{2} + 3c)^8$ の展開式における $a^3 b^3 c^2$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。展開式の一般項は

$$\frac{8!}{p!q!r!} a^p \left( \frac{b}{2} \right)^q (3c)^r$$

ここで、$p+q+r=8$である。$a^3 b^3 c^2$の項なので、$p=3, q=3, r=2$である。よって、係数は

$$\frac{8!}{3!3!2!} a^3 \left( \frac{b}{2} \right)^3 (3c)^2 = \frac{8!}{3!3!2!} \cdot \frac{1}{2^3} \cdot 3^2 a^3 b^3 c^2$$

したがって、$a^3 b^3 c^2$の係数は

$$\frac{8!}{3!3!2!} \cdot \frac{1}{2^3} \cdot 3^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{8} \cdot 9 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 6}{6 \cdot 2} \cdot \frac{9}{8} = 56 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{8} = 560 \cdot 5 \cdot \frac{9}{8} = \frac{560 \cdot 45}{8} = 70 \cdot 45 = 3150$$

係数は

$$\frac{8!}{3!3!2!} \cdot \frac{1}{2^3} \cdot 3^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{6 \cdot 2} \cdot \frac{1}{8} \cdot 9 = 56 \cdot 5 \cdot 3 = 560 \times 3 = 3150 \frac{3360 \times 9}{8} = 420 \cdot 9 = 3780$$

$$\frac{8!}{3!3!2!} \left( \frac{1}{2} \right)^3 3^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(6)(6)(2)} \cdot \frac{1}{8} \cdot 9 = \frac{40320}{72} \frac{9}{8} = 560 \cdot \frac{9}{8} = 70 \cdot 9 = 630$$

$$\frac{8!}{3!3!2!} \left(\frac{1}{2}\right)^3 3^2 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 2} \times \frac{1}{8} \times 9 = 8 \times 7 \times 5 \times 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} \times 9=3780$$

3. 最終的な答え

3780