$(a+b+c)^6$ の展開式における異なる項の数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(a+b+c)^6$ の展開式における異なる項の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$(a+b+c)^6$ の展開式における一般的な項は、$a^p b^q c^r$ の形をしています。ここで、$p, q, r$ は非負の整数で、かつ $p + q + r = 6$ を満たします。

したがって、問題は非負の整数 $p, q, r$ が $p + q + r = 6$ を満たす組 $(p, q, r)$ の個数を数える問題となります。

これは、6個の同じものを3つの異なる箱に入れる場合の数と考えることができます。

これは、重複組み合わせの問題であり、$n$個のものから$k$個を選ぶ重複組み合わせの数は ${}_{n+k-1}C_k$ で表されます。

今回の場合は、$n = 3$ (変数の数：a, b, c) で、$k = 6$ (指数の合計) なので、

${}_{3+6-1}C_6 = {}_{8}C_6$ を計算します。

${}_{8}C_6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$

3. 最終的な答え

28