問題11：ある等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_{10} = 200$、$S_{20} = 600$のとき、以下の値を求める。 (1) $S_n$の式を求める。 (2) $S_{30}$を求める。 (3) 第11項から第30項までの和を求める。 問題12：初項20、公差-2の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。 (1) $S_n = 20$となる$n$を求める。 (2) $S_n$が最大となるのは第何項までの和か。 問題13：第5項が84、第20項が-51の等差数列において、初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_n$の最大値とそのときの$n$の値を求める。

1. 問題の内容

問題11：ある等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_{10} = 200$、$S_{20} = 600$のとき、以下の値を求める。

(1) $S_n$の式を求める。

(2) $S_{30}$を求める。

(3) 第11項から第30項までの和を求める。

問題12：初項20、公差-2の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。

(1) $S_n = 20$となる$n$を求める。

(2) $S_n$が最大となるのは第何項までの和か。

問題13：第5項が84、第20項が-51の等差数列において、初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_n$の最大値とそのときの$n$の値を求める。

2. 解き方の手順

問題11：

(1) 等差数列の初項を$a$、公差を$d$とすると、$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$である。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 5(2a+9d) = 200$より、

$2a + 9d = 40$。

$S_{20} = \frac{20}{2}(2a + 19d) = 10(2a+19d) = 600$より、

$2a + 19d = 60$。

2つの式から$a$と$d$を求める。

$(2a+19d) - (2a+9d) = 60 - 40$より、

$10d = 20$、よって$d = 2$。

$2a + 9(2) = 40$より、$2a = 40 - 18 = 22$、よって$a = 11$。

したがって、$S_n = \frac{n}{2}(2(11) + (n-1)(2)) = \frac{n}{2}(22 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n+20) = n(n+10) = n^2 + 10n$。

(2) $S_{30} = 30^2 + 10(30) = 900 + 300 = 1200$。

(3) 第11項から第30項までの和は、$S_{30} - S_{10} = 1200 - 200 = 1000$。

問題12：

(1) $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$で、$a = 20$, $d = -2$なので、$S_n = \frac{n}{2}(2(20) + (n-1)(-2)) = \frac{n}{2}(40 - 2n + 2) = \frac{n}{2}(42 - 2n) = n(21 - n) = 21n - n^2$。

$S_n = 20$となる$n$を求めるので、$21n - n^2 = 20$。

$n^2 - 21n + 20 = 0$を解く。$(n-1)(n-20) = 0$より、$n=1, 20$。

(2) $S_n = 21n - n^2 = -(n^2 - 21n) = -(n^2 - 21n + (\frac{21}{2})^2 - (\frac{21}{2})^2) = -(n - \frac{21}{2})^2 + (\frac{21}{2})^2$。

$n$は整数なので、$n = 10$または$n = 11$で$S_n$が最大となる。

$S_{10} = 10(21-10) = 10(11) = 110$。

$S_{11} = 11(21-11) = 11(10) = 110$。

よって、第10項まで、または第11項までの和が最大である。

問題13：

第5項が84、第20項が-51であるから、

$a_5 = a + 4d = 84$、

$a_{20} = a + 19d = -51$。

$a + 19d - (a + 4d) = -51 - 84$より、$15d = -135$、よって$d = -9$。

$a + 4(-9) = 84$より、$a = 84 + 36 = 120$。

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(120) + (n-1)(-9)) = \frac{n}{2}(240 - 9n + 9) = \frac{n}{2}(249 - 9n)$。

$S_n$が最大となるのは、$a_n \ge 0$かつ$a_{n+1} < 0$のとき。

$a_n = a + (n-1)d = 120 + (n-1)(-9) \ge 0$。

$120 - 9n + 9 \ge 0$より、$129 \ge 9n$、$n \le \frac{129}{9} = \frac{43}{3} \approx 14.33$。

$a_{n+1} = 120 + n(-9) < 0$より、$120 < 9n$、$n > \frac{120}{9} = \frac{40}{3} \approx 13.33$。

よって、$n = 14$。

$S_{14} = \frac{14}{2}(249 - 9(14)) = 7(249 - 126) = 7(123) = 861$。

3. 最終的な答え

問題11：

(1) $S_n = n^2 + 10n$

(2) $S_{30} = 1200$

(3) 第11項から第30項までの和 = 1000

問題12：

(1) $n = 1, 20$

(2) 第10項または第11項までの和

問題13：

$S_n$の最大値 = 861, そのときの$n$の値 = 14