与えられた分数の分母を有理化する問題です。 41aの(1)から(4)と41bの(1)から(4)の計8問を解きます。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。

41aの(1)から(4)と41bの(1)から(4)の計8問を解きます。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母にある根号を消すように、分数全体に適切な数を掛けます。

41a

(1) $\frac{2}{\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $\frac{5}{\sqrt{20}}$ の分母を有理化します。まず、$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$ と変形します。

$\frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{5}{2\sqrt{5}}$ となり、分母と分子に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5 \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{2 \times 5} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - 1) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

41b

(1) $\frac{3}{\sqrt{6}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{7}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{7}}{2\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{2 \times 7} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

(3) $\frac{4}{\sqrt{8}}$ の分母を有理化します。まず、$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ と変形します。

$\frac{4}{\sqrt{8}} = \frac{4}{2\sqrt{2}}$ となり、分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{4 \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$

(4) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

41a

(1) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

41b

(1) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{21}}{14}$

(3) $\sqrt{2}$

(4) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{3}$