数列$\{a_n\}$は初項$a$, 公差$d$の等差数列であり, 第5項は52, 第12項は31である。 数列$\{b_n\}$は初項$a$, 公比$r$の等比数列であり, 第4項は8である。ただし、$r$は実数とする。 (1) $a, d, r$を求める。 (2) $a_n>0$を満たす最大の自然数$n$の値, $S_n$が最大となる$n$の値と最大値, $a_n < b_n$を満たす最小の自然数$n$の値を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$は初項$a$, 公差$d$の等差数列であり, 第5項は52, 第12項は31である。

数列$\{b_n\}$は初項$a$, 公比$r$の等比数列であり, 第4項は8である。ただし、$r$は実数とする。

(1) $a, d, r$を求める。

(2) $a_n>0$を満たす最大の自然数$n$の値, $S_n$が最大となる$n$の値と最大値, $a_n < b_n$を満たす最小の自然数$n$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列$\{a_n\}$について, 第5項は$a+4d=52$, 第12項は$a+11d=31$である。

この連立方程式を解く。

$a+11d - (a+4d) = 31 - 52$

$7d = -21$

$d = -3$

$a + 4(-3) = 52$

$a - 12 = 52$

$a = 64$

等比数列$\{b_n\}$について, 第4項は$ar^3=8$である。

$64r^3=8$

$r^3 = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}$

$r = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

(2)

$a_n = a + (n-1)d = 64 + (n-1)(-3) = 64 - 3n + 3 = 67 - 3n$

$a_n > 0$

$67 - 3n > 0$

$3n < 67$

$n < \frac{67}{3} = 22.333...$

したがって、$a_n > 0$を満たす最大の自然数$n$は$n=22$である。

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(64) + (n-1)(-3)) = \frac{n}{2}(128 - 3n + 3) = \frac{n}{2}(131 - 3n) = \frac{1}{2}(-3n^2 + 131n)$

$S_n$が最大となるのは、$a_n>0$の範囲で$n$を大きくしていく時である。

$a_{22} = 67 - 3(22) = 67 - 66 = 1 > 0$

$a_{23} = 67 - 3(23) = 67 - 69 = -2 < 0$

$n=22$のとき$S_n$は最大となる。

$S_{22} = \frac{22}{2}(131 - 3(22)) = 11(131 - 66) = 11(65) = 715$

$a_n < b_n$

$67 - 3n < 64(\frac{1}{2})^{n-1}$

$n=1$のとき, $67-3(1) = 64$, $64(\frac{1}{2})^{1-1}=64$, $64<64$は成り立たない。

$n=2$のとき, $67-3(2) = 61$, $64(\frac{1}{2})^{2-1}=32$, $61<32$は成り立たない。

$n=3$のとき, $67-3(3) = 58$, $64(\frac{1}{2})^{3-1}=16$, $58<16$は成り立たない。

$n=4$のとき, $67-3(4) = 55$, $64(\frac{1}{2})^{4-1}=8$, $55<8$は成り立たない。

$n=5$のとき, $67-3(5) = 52$, $64(\frac{1}{2})^{5-1}=4$, $52<4$は成り立たない。

$n=6$のとき, $67-3(6) = 49$, $64(\frac{1}{2})^{6-1}=2$, $49<2$は成り立たない。

$n=7$のとき, $67-3(7) = 46$, $64(\frac{1}{2})^{7-1}=1$, $46<1$は成り立たない。

$n=8$のとき, $67-3(8) = 43$, $64(\frac{1}{2})^{8-1}=0.5$, $43<0.5$は成り立たない。

$n=23$のとき，$67 - 3(23) = -2$，$64(\frac{1}{2})^{22} = \frac{64}{2^{22}} = \frac{2^6}{2^{22}} = \frac{1}{2^{16}}$

$n=23$で初めて$a_n<b_n$となる。

したがって，$a_n<b_n$を満たす最小の自然数$n$は23である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 64$, $d = -3$, $r = \frac{1}{2}$

(2) $n = 22$, $n = 22$のとき最大値$715$, $n = 23$