整式 $P(x)$ を $x+3$ で割った余りが2、$x-2$ で割った余りが-3であるとき、$P(x)$ を $(x+3)(x-2)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x+3$ で割った余りが2、$x-2$ で割った余りが-3であるとき、$P(x)$ を $(x+3)(x-2)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x+3)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$$P(x) = (x+3)(x-2)Q(x) + ax+b$$

と表せる。

剰余の定理より、$P(-3) = 2$ および $P(2) = -3$ が成り立つ。

上の式にそれぞれ代入すると、

$$P(-3) = (-3+3)(-3-2)Q(-3) + a(-3)+b = -3a+b = 2$$

$$P(2) = (2+3)(2-2)Q(2) + a(2)+b = 2a+b = -3$$

2つの式を連立させて解く。

$$\begin{cases} -3a+b = 2 \\ 2a+b = -3 \end{cases}$$

2式を引くと、

$$(-3a+b) - (2a+b) = 2 - (-3)$$

$$-5a = 5$$

$$a = -1$$

これを $2a+b=-3$ に代入すると、

$$2(-1) + b = -3$$

$$-2 + b = -3$$

$$b = -1$$

よって、余りは $-x-1$ である。

3. 最終的な答え

$-x-1$