与えられた2つの不等式を解きます。 (1) $(x-2)(x+1)(2x+1)>0$ (2) $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \leq 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの不等式を解きます。

(1) $(x-2)(x+1)(2x+1)>0$

(2) $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \leq 0$

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $(x-2)(x+1)(2x+1)>0$ を解く。

まず、$x-2=0$, $x+1=0$, $2x+1=0$ を満たす $x$ の値を求める。

$x = 2, x = -1, x = -\frac{1}{2}$

これらの値を用いて数直線を分割し、各区間における不等式の符号を調べる。

- $x < -1$ のとき、$x-2 < 0$, $x+1 < 0$, $2x+1 < 0$ なので、$(x-2)(x+1)(2x+1) < 0$

- $-1 < x < -\frac{1}{2}$ のとき、$x-2 < 0$, $x+1 > 0$, $2x+1 < 0$ なので、$(x-2)(x+1)(2x+1) > 0$

- $-\frac{1}{2} < x < 2$ のとき、$x-2 < 0$, $x+1 > 0$, $2x+1 > 0$ なので、$(x-2)(x+1)(2x+1) < 0$

- $x > 2$ のとき、$x-2 > 0$, $x+1 > 0$, $2x+1 > 0$ なので、$(x-2)(x+1)(2x+1) > 0$

したがって、$(x-2)(x+1)(2x+1)>0$ を満たす $x$ の範囲は $-1 < x < -\frac{1}{2}$, $x > 2$

(2) 不等式 $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \leq 0$ を解く。

$f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ とおく。

$f(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0$ であるから、$x-2$ を因数に持つ。

$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x-2)(x^2 + 4x + 3) = (x-2)(x+1)(x+3)$

したがって、$(x-2)(x+1)(x+3) \leq 0$ を解く。

$x = -3, x = -1, x = 2$

これらの値を用いて数直線を分割し、各区間における不等式の符号を調べる。

- $x < -3$ のとき、$x-2 < 0$, $x+1 < 0$, $x+3 < 0$ なので、$(x-2)(x+1)(x+3) < 0$

- $-3 < x < -1$ のとき、$x-2 < 0$, $x+1 < 0$, $x+3 > 0$ なので、$(x-2)(x+1)(x+3) > 0$

- $-1 < x < 2$ のとき、$x-2 < 0$, $x+1 > 0$, $x+3 > 0$ なので、$(x-2)(x+1)(x+3) < 0$

- $x > 2$ のとき、$x-2 > 0$, $x+1 > 0$, $x+3 > 0$ なので、$(x-2)(x+1)(x+3) > 0$

したがって、$(x-2)(x+1)(x+3) \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は $x \leq -3$, $-1 \leq x \leq 2$

3. 最終的な答え

(1) $-1 < x < -\frac{1}{2}$, $x > 2$

(2) $x \leq -3$, $-1 \leq x \leq 2$