6つの2次関数の問題があります。 (1) $y = x^2 - 4x + 5$ の頂点の座標を求めます。 (2) $y = 2x^2 - 3x - 1$ を原点に関して対称移動したグラフの式を求めます。 (3) $y = 2x^2 - 4x + 3$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。 (4) 3点 $(-1, 6), (1, 4), (2, 9)$ を通る2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の係数 $a, b, c$ を求めます。 (5) 2次不等式 $x^2 - 3x - 10 < 0$ の解を求めます。 (6) 2次方程式 $3x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求めます。

1. 問題の内容

6つの2次関数の問題があります。

(1) $y = x^2 - 4x + 5$ の頂点の座標を求めます。

(2) $y = 2x^2 - 3x - 1$ を原点に関して対称移動したグラフの式を求めます。

(3) $y = 2x^2 - 4x + 3$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

(4) 3点 $(-1, 6), (1, 4), (2, 9)$ を通る2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の係数 $a, b, c$ を求めます。

(5) 2次不等式 $x^2 - 3x - 10 < 0$ の解を求めます。

(6) 2次方程式 $3x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平方完成して頂点を求めます。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$

したがって、頂点の座標は $(2, 1)$ です。

(2) 原点に関して対称移動すると、$x \to -x$、$y \to -y$ となります。

$-y = 2(-x)^2 - 3(-x) - 1$

$-y = 2x^2 + 3x - 1$

$y = -2x^2 - 3x + 1$

(3) 平方完成して最小値を求めます。

$y = 2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x - 1)^2 - 2 + 3 = 2(x - 1)^2 + 1$

$x = 1$ のとき、最小値 $1$ をとります。

(4) 3点の座標を代入して連立方程式を解きます。

$a - b + c = 6$

$a + b + c = 4$

$4a + 2b + c = 9$

(2) - (1) より、$2b = -2$, $b = -1$

(3) - (2) より、$3a + b = 5$, $3a - 1 = 5$, $3a = 6$, $a = 2$

(2) より、$2 - 1 + c = 4$, $1 + c = 4$, $c = 3$

したがって、$a = 2, b = -1, c = 3$ です。

(5) 因数分解して不等式を解きます。

$x^2 - 3x - 10 < 0$

$(x - 5)(x + 2) < 0$

$-2 < x < 5$

(6) 解の公式を使って解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) (2, 1)

(2) $y = -2x^2 - 3x + 1$

(3) $x = 1$ で最小値 $1$

(4) $a = 2, b = -1, c = 3$

(5) $-2 < x < 5$

(6) $x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$