相加平均と相乗平均に関する不等式を利用して、以下の不等式を証明する問題です。 (1) $a > 0, b > 0$ のとき $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ (2) $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$ のとき $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d})(\frac{b}{a} + \frac{d}{c}) \geq 4$

1. 問題の内容

相加平均と相乗平均に関する不等式を利用して、以下の不等式を証明する問題です。

(1) $a > 0, b > 0$ のとき $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$

(2) $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$ のとき $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d})(\frac{b}{a} + \frac{d}{c}) \geq 4$

2. 解き方の手順

(1)

$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ を展開します。

$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

ここで、相加平均と相乗平均の不等式を利用します。$x > 0$ のとき、$x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立ちます。

この不等式に $x = \frac{a}{b}$ を代入すると、$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ となります。

したがって、

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 + 2 = 4$

よって、$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ が証明されました。

(2)

$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d})(\frac{b}{a} + \frac{d}{c})$ を展開します。

$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d})(\frac{b}{a} + \frac{d}{c}) = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} + \frac{c}{d} \cdot \frac{b}{a} + \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} = 1 + \frac{ad}{bc} + \frac{bc}{ad} + 1 = 2 + \frac{ad}{bc} + \frac{bc}{ad}$

ここで、相加平均と相乗平均の不等式を利用します。$x > 0$ のとき、$x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立ちます。

この不等式に $x = \frac{ad}{bc}$ を代入すると、$\frac{ad}{bc} + \frac{bc}{ad} \geq 2$ となります。

したがって、

$2 + \frac{ad}{bc} + \frac{bc}{ad} \geq 2 + 2 = 4$

よって、$(\frac{a}{b} + \frac{c}{d})(\frac{b}{a} + \frac{d}{c}) \geq 4$ が証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$

(2) $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d})(\frac{b}{a} + \frac{d}{c}) \geq 4$