複数の二次関数に関する問題です。 (1) 頂点の座標を求める。 (2) 原点に関して対称移動したグラフの式を求める。 (3) 最小値を求める。 (4) 3点を通るグラフの式を求める。 (5) 二次不等式を解く。 (6) 二次方程式を解く。

1. 問題の内容

複数の二次関数に関する問題です。

(1) 頂点の座標を求める。

(2) 原点に関して対称移動したグラフの式を求める。

(3) 最小値を求める。

(4) 3点を通るグラフの式を求める。

(5) 二次不等式を解く。

(6) 二次方程式を解く。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4x + 5$ を平方完成する。

$y = (x-2)^2 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1$

頂点の座標は(2, 1)。

(2) $y = 2x^2 - 3x - 1$ を原点に関して対称移動すると、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = 2(-x)^2 - 3(-x) - 1$

$-y = 2x^2 + 3x - 1$

$y = -2x^2 - 3x + 1$

(3) $y = 2x^2 - 4x + 3$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1$

$x = 1$ で最小値 $1$ をとる。

(4) $y = ax^2 + bx + c$ が3点(-1,6), (1,4), (2,9)を通るので、

$a - b + c = 6$

$a + b + c = 4$

$4a + 2b + c = 9$

これらの連立方程式を解く。

2つ目の式から1つ目の式を引くと、$2b = -2$ より $b = -1$

3つ目の式から2つ目の式を引くと、$3a + b = 5$

$3a - 1 = 5$ より $3a = 6$ なので $a = 2$

$2 - (-1) + c = 4$ より $3 + c = 4$ なので $c = 1$

よって、$a = 2, b = -1, c = 1$

(5) $x^2 - 3x - 10 < 0$ を解く。

$(x - 5)(x + 2) < 0$

$-2 < x < 5$

(6) $3x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く。解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) (2, 1)

(2) y = -2x^2 - 3x + 1

(3) x = 1 で最小値 1 をとる。

(4) a = 2, b = -1, c = 1

(5) -2 < x < 5

(6) x = (3 ± √21) / 6