与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。 (3) $\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。

(3) $\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ の分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ を分母と分子に掛ける。

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求める。

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2(a)(\frac{2}{a}) + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

したがって、$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4 = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1}$ の値を求める。

$\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1} = \frac{(a^2 - 4)(a^2 + 4)}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1}$

ここで、$a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

$a^2 = \frac{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})^2}{4} = \frac{18 + 6\sqrt{20} + 10}{4} = \frac{28 + 12\sqrt{5}}{4} = 7 + 3\sqrt{5}$

$a^4 = (7 + 3\sqrt{5})^2 = 49 + 42\sqrt{5} + 45 = 94 + 42\sqrt{5}$

$\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1} = \frac{94+42\sqrt{5}-16}{94+42\sqrt{5} - \frac{8}{7+3\sqrt{5}} - 1} = \frac{78+42\sqrt{5}}{93+42\sqrt{5} - \frac{8(7-3\sqrt{5})}{49-45}} = \frac{78+42\sqrt{5}}{93+42\sqrt{5} - 2(7-3\sqrt{5})} = \frac{78+42\sqrt{5}}{93+42\sqrt{5} - 14 + 6\sqrt{5}} = \frac{78+42\sqrt{5}}{79+48\sqrt{5}}$

$\frac{78+42\sqrt{5}}{79+48\sqrt{5}} = \frac{(78+42\sqrt{5})(79-48\sqrt{5})}{(79+48\sqrt{5})(79-48\sqrt{5})} = \frac{6162-3744\sqrt{5}+3318\sqrt{5}-10080}{6241-11520} = \frac{-3918-426\sqrt{5}}{-5279}$

この計算は大変なので、別の方法を考える。

$a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$ から $a^2 - 3\sqrt{2} a + 2 = 0$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$ から $a^4 - 14a^2 + 4 = 0$

$a^4 = 14a^2 - 4$

$\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1} = \frac{14a^2 - 4 - 16}{14a^2 - 4 - \frac{8}{a^2} - 1} = \frac{14a^2 - 20}{14a^2 - 5 - \frac{8}{a^2}} = \frac{14a^4 - 20a^2}{14a^4 - 5a^2 - 8} = \frac{14(14a^2-4) - 20a^2}{14(14a^2-4) - 5a^2 - 8} = \frac{196a^2 - 56 - 20a^2}{196a^2 - 56 - 5a^2 - 8} = \frac{176a^2 - 56}{191a^2 - 64} = \frac{176(7+3\sqrt{5}) - 56}{191(7+3\sqrt{5}) - 64} = \frac{1232 + 528\sqrt{5} - 56}{1337 + 573\sqrt{5} - 64} = \frac{1176 + 528\sqrt{5}}{1273 + 573\sqrt{5}}$

（３）別解: $a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$なので、$\frac{1}{a} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}$となる。したがって、$\frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$となる。すると$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2} = 3\sqrt{2}$となる。

また、$a^{2}+\frac{4}{a^{2}}=(a+\frac{2}{a})^{2}-4=(3\sqrt{2})^{2}-4 = 18-4 = 14$

$a^{4} = (a^{2})^{2}$なので、$a^{4}+\frac{16}{a^{4}}=(a^{2}+\frac{4}{a^{2}})^{2}-8 = 14^{2}-8 = 196-8 = 188$

$\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1}=\frac{a^4 - 16}{a^4 - (\frac{8}{a^2}+1)} = \frac{a^4 - 16}{\frac{a^6 - 8 - a^2}{a^2}} = \frac{a^2(a^4 - 16)}{a^6 - 8 - a^2}$

$\frac{a^4 - 16}{\frac{a^6 - 8 - a^2}{a^2}} = a^2 = 7 + 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $\frac{a^4 - 16}{a^4 - \frac{8}{a^2} - 1} = 1$

$1176+528\sqrt{5}$

$1273+573\sqrt{5}$

$a^{2} = 7 + 3\sqrt{5}$

$\frac{a^{4}-16}{a^{4}-\frac{8}{a^{2}}-1}$