$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$のとき、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$のとき、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$を因数分解します。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$の公式を利用すると、

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$$

ここで、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ なので、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めます。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$(\frac{1}{4})^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$\frac{1}{16} = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16} - 1 = \frac{1-16}{16} = -\frac{15}{16}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}$

よって、

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{4})(1 - (-\frac{15}{32})) = \frac{1}{4}(1 + \frac{15}{32}) = \frac{1}{4}(\frac{32+15}{32}) = \frac{1}{4}(\frac{47}{32}) = \frac{47}{128}$$

3. 最終的な答え

$\frac{47}{128}$