与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 & -4 \\ -7 & 1 & -8 & 6 \\ 10 & 3 & 6 & 1 \\ 2 & 5 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

3 & 2 & 5 & -4 \\

-7 & 1 & -8 & 6 \\

10 & 3 & 6 & 1 \\

2 & 5 & 4 & 3

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

4x4行列の行列式を計算するには、いくつかの方法があります。ここでは、余因子展開を使用します。

まず、1行目を選択して余因子展開を行います。

$det(A) = 3C_{11} + 2C_{12} + 5C_{13} + (-4)C_{14}$

ここで、$C_{ij}$ は要素 $a_{ij}$ の余因子です。余因子は、$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ で定義されます。ここで、$M_{ij}$ は小行列式で、元の行列からi行とj列を取り除いた行列の行列式です。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & -8 & 6 \\ 3 & 6 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 1(18-4) - (-8)(9-5) + 6(12-30) = 14 + 32 - 108 = -62$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -7 & -8 & 6 \\ 10 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = -1[ -7(18-4) - (-8)(30-2) + 6(40-12)] = -1[-98 + 224 + 168] = -294$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -7 & 1 & 6 \\ 10 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \end{vmatrix} = 1[ -7(9-5) - 1(30-2) + 6(50-6)] = -28 - 28 + 264 = 208$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} -7 & 1 & -8 \\ 10 & 3 & 6 \\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} = -1[ -7(12-30) - 1(40-12) + (-8)(50-6)] = -1[126 - 28 - 352] = -1[-254] = 254$

したがって、

$det(A) = 3(-62) + 2(-294) + 5(208) - 4(254) = -186 - 588 + 1040 - 1016 = -750$

3. 最終的な答え

行列式は -750 です。