画像に写っている9つの数学の問題を解く。具体的には、 (1) 条件 $x>1$ または $y \geq 2$ の否定を求める。 (2) 命題「$x^2 < 1$ ならば $x < 1$」の逆を求める。 (3) 2次方程式 $3x^2 - 5x + 2 = 0$ を解く。 (4) 2次関数 $y = -x^2 + 6x - 1$ のグラフとx軸との共有点の座標を求める。 (5) 2次方程式 $\sqrt{2}x^2 + 4x + 2\sqrt{2} = 0$ の実数解の個数を求める。 (6) 2次不等式 $2x^2 + 4x - 1 > 0$ を解く。 (7) 式 $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算する。 (8) $\theta$ が鋭角で $\cos \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (9) $9\sin 45^{\circ} + 3\cos 135^{\circ} + \sqrt{6}\tan 60^{\circ}$ の値を求める。

1. 問題の内容

画像に写っている9つの数学の問題を解く。具体的には、

(1) 条件 $x>1$ または $y \geq 2$ の否定を求める。

(2) 命題「$x^2 < 1$ ならば $x < 1$」の逆を求める。

(3) 2次方程式 $3x^2 - 5x + 2 = 0$ を解く。

(4) 2次関数 $y = -x^2 + 6x - 1$ のグラフとx軸との共有点の座標を求める。

(5) 2次方程式 $\sqrt{2}x^2 + 4x + 2\sqrt{2} = 0$ の実数解の個数を求める。

(6) 2次不等式 $2x^2 + 4x - 1 > 0$ を解く。

(7) 式 $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算する。

(8) $\theta$ が鋭角で $\cos \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(9) $9\sin 45^{\circ} + 3\cos 135^{\circ} + \sqrt{6}\tan 60^{\circ}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 条件「$x > 1$ または $y \geq 2$」の否定は、「$x \leq 1$ かつ $y < 2$」となる。

(2) 命題「$x^2 < 1$ ならば $x < 1$」の逆は、「$x < 1$ ならば $x^2 < 1$」となる。

(3) 2次方程式 $3x^2 - 5x + 2 = 0$ を解く。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}$

したがって、$x = \frac{5+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ または $x = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

(4) 2次関数 $y = -x^2 + 6x - 1$ のグラフとx軸との共有点の座標を求める。

$y = -(x^2 - 6x) - 1 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 1 = -(x-3)^2 + 9 - 1 = -(x-3)^2 + 8$

$y = 0$ となるのは、$-(x-3)^2 + 8 = 0$ のとき。

$(x-3)^2 = 8$ より、$x-3 = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

$x = 3 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、共有点の座標は $(3 + 2\sqrt{2}, 0)$ と $(3 - 2\sqrt{2}, 0)$

(5) 2次方程式 $\sqrt{2}x^2 + 4x + 2\sqrt{2} = 0$ の実数解の個数を求める。判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算する。

$D = 4^2 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 16 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 - 16 = 0$

$D = 0$ なので、実数解の個数は1個。

(6) 2次不等式 $2x^2 + 4x - 1 > 0$ を解く。まず、$2x^2 + 4x - 1 = 0$ の解を求める。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$

したがって、$x < \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}$ または $x > \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$

(7) 式 $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) + (\sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 + 1 = 2$

(8) $\theta$ が鋭角で $\cos \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ($\theta$ が鋭角なので正)

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(9) $9\sin 45^{\circ} + 3\cos 135^{\circ} + \sqrt{6}\tan 60^{\circ}$ の値を求める。

$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$

$9\sin 45^{\circ} + 3\cos 135^{\circ} + \sqrt{6}\tan 60^{\circ} = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 3 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \frac{9}{\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}} + \sqrt{18} = \frac{6}{\sqrt{2}} + 3\sqrt{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x \leq 1$ かつ $y < 2$

(2) $x < 1$ ならば $x^2 < 1$

(3) $x = 1, \frac{2}{3}$

(4) $(3 + 2\sqrt{2}, 0)$, $(3 - 2\sqrt{2}, 0)$

(5) 1個

(6) $x < \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}$ または $x > \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$

(7) 2

(8) $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}, \tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(9) $6\sqrt{2}$