与えられた等差数列の和を求める問題です。各問題で、初項、末項、項数、または数列の具体的な項が与えられています。

## 問題8

1. **問題の内容**

与えられた等差数列の和を求める問題です。各問題で、初項、末項、項数、または数列の具体的な項が与えられています。

2. **解き方の手順**

(1) 初項が10、末項が70、項数が31の場合

等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a + l)}{2}$ を使います。ここで、$n$は項数、$a$は初項、$l$は末項です。

$S = \frac{31(10 + 70)}{2}$

(2) 初項が50、末項が30、項数が12の場合

同様に、$S = \frac{n(a + l)}{2}$ を使います。

$S = \frac{12(50 + 30)}{2}$

(3) 初項が-2、公差が5、項数が11の場合

まず、末項を求めます。末項は$l = a + (n-1)d$で求められます。ここで、$a$は初項、$d$は公差、$n$は項数です。

$l = -2 + (11 - 1) \times 5 = -2 + 50 = 48$

次に、等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a + l)}{2}$ を使います。

$S = \frac{11(-2 + 48)}{2}$

(4) 50, 45, 40, 35, ..., 5 の場合

初項は50、公差は-5です。末項は5です。

まず、項数を求めます。$l = a + (n-1)d$より、

$5 = 50 + (n-1)(-5)$

$-45 = (n-1)(-5)$

$9 = n-1$

$n = 10$

次に、等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a + l)}{2}$ を使います。

$S = \frac{10(50 + 5)}{2}$

(5) 1, 4, 7, 10, ..., 70 の場合

初項は1、公差は3です。末項は70です。

まず、項数を求めます。$l = a + (n-1)d$より、

$70 = 1 + (n-1)3$

$69 = (n-1)3$

$23 = n-1$

$n = 24$

次に、等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a + l)}{2}$ を使います。

$S = \frac{24(1 + 70)}{2}$

3. **最終的な答え**

(1) $S = \frac{31 \times 80}{2} = 31 \times 40 = 1240$

(2) $S = \frac{12 \times 80}{2} = 6 \times 80 = 480$

(3) $S = \frac{11 \times 46}{2} = 11 \times 23 = 253$

(4) $S = \frac{10 \times 55}{2} = 5 \times 55 = 275$

(5) $S = \frac{24 \times 71}{2} = 12 \times 71 = 852$

## 問題9

1. **問題の内容**

与えられた等差数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を求める問題です。

2. **解き方の手順**

(1) 初項2、公差3の場合

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ を使います。ここで、$a$は初項、$d$は公差です。

$S_n = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)3]$

$S_n = \frac{n}{2}[4 + 3n - 3]$

$S_n = \frac{n}{2}(3n + 1)$

(2) 初項76、公差-5の場合

同様に、$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ を使います。

$S_n = \frac{n}{2}[2(76) + (n-1)(-5)]$

$S_n = \frac{n}{2}[152 - 5n + 5]$

$S_n = \frac{n}{2}(157 - 5n)$

(3) -5, -1, 3, 7, 11, ... の場合

初項は-5、公差は4です。

$S_n = \frac{n}{2}[2(-5) + (n-1)4]$

$S_n = \frac{n}{2}[-10 + 4n - 4]$

$S_n = \frac{n}{2}(4n - 14)$

$S_n = n(2n - 7)$

(4) 12, 10, 8, 6, 4, ... の場合

初項は12、公差は-2です。

$S_n = \frac{n}{2}[2(12) + (n-1)(-2)]$

$S_n = \frac{n}{2}[24 - 2n + 2]$

$S_n = \frac{n}{2}(26 - 2n)$

$S_n = n(13 - n)$

3. **最終的な答え**

(1) $S_n = \frac{n(3n + 1)}{2}$

(2) $S_n = \frac{n(157 - 5n)}{2}$

(3) $S_n = n(2n - 7)$

(4) $S_n = n(13 - n)$

## 問題10

1. **問題の内容**

与えられた等差数列に関する問題を解きます。各問題で、初項、末項、和などの情報が与えられ、項数や公差を求める必要があります。

2. **解き方の手順**

(1) 初項が-2、末項が7、和が50のとき、項数を求めよ。

等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a + l)}{2}$ を使います。

$50 = \frac{n(-2 + 7)}{2}$

$100 = 5n$

$n = 20$

(2) 初項が2、初項から第11項までの和が33であるとき、公差を求めよ。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ を使います。

$33 = \frac{11}{2}[2(2) + (11-1)d]$

$66 = 11[4 + 10d]$

$6 = 4 + 10d$

$2 = 10d$

$d = \frac{1}{5}$

(3) 第10項が0、初項から第10項までの和が15であるとき、初項を求めよ。

第10項 $a_{10} = a + 9d = 0$

初項から第10項までの和 $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 15$

$5(2a + 9d) = 15$

$2a + 9d = 3$

$9d = -a$ より $2a - a = 3$

$a = 3$

(4) 初項が8、公差が2のとき、初項からの和が1248になるのは第何項目までの和か。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ を使います。

$1248 = \frac{n}{2}[2(8) + (n-1)2]$

$2496 = n[16 + 2n - 2]$

$2496 = n(14 + 2n)$

$2496 = 14n + 2n^2$

$n^2 + 7n - 1248 = 0$

$(n - 32)(n + 39) = 0$

$n = 32$ または $n = -39$

$n$ は正の整数なので、$n = 32$

3. **最終的な答え**

(1) $n = 20$

(2) $d = \frac{1}{5}$

(3) $a = 3$

(4) $n = 32$