2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とします。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めます。 (2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めます。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \leq |\frac{b}{a}|$ …①を解き、不等式①と $k \leq x \leq k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とします。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めます。

(2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めます。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \leq |\frac{b}{a}|$ …①を解き、不等式①と $k \leq x \leq k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解の公式を使って解きます。

解の公式は $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ なので、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$ となります。

$a < b$ なので、$a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$ です。

(2)

$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{20}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = \frac{20}{4 - 6} = \frac{20}{-2} = -10$

(3)

不等式 $|x - \frac{a}{b}| \leq |\frac{b}{a}|$ は、$|x - \frac{a}{b}| \leq \frac{b}{a}$ と書き換えられます（$a<b$より$a, b$は正の数とは限らないので絶対値を外す際に注意が必要）。$a = 2 - \sqrt{6} < 0$、$b = 2 + \sqrt{6} > 0$ なので $\frac{a}{b}<0$です。一方$\frac{b}{a}<0$ですが、絶対値記号がついているので$\frac{b}{a}$の絶対値は正の数です。

不等式の絶対値を外すと$-\frac{b}{a} \leq x - \frac{a}{b} \leq \frac{b}{a}$となります。

よって、$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} \leq x \leq \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

(2)より、$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$なので、$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a}{b} + 10$

$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

したがって、$\frac{a}{b} + 10 = -5 + 2\sqrt{6} + 10 = 5 + 2\sqrt{6}$

不等式①の解は、$5 + 2\sqrt{6} \leq x \leq -10$となりますが、$5 + 2\sqrt{6}>0$なので不等号の向きが逆で、$x$は存在しません。

$|\frac{b}{a}| = -\frac{b}{a} = -\frac{2 + \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} = -\frac{(2 + \sqrt{6})^2}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = -\frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = -\frac{10 + 4\sqrt{6}}{-2} = 5 + 2\sqrt{6}$

したがって、$-5 - 2\sqrt{6} \leq x - ( -5 + 2\sqrt{6}) \leq 5 + 2\sqrt{6}$

$-5 - 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6} \leq x \leq 5 + 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6}$

$-10 \leq x \leq 4\sqrt{6}$

ここで、$4\sqrt{6} = \sqrt{96}$ であり、$\sqrt{81} < \sqrt{96} < \sqrt{100}$なので、$9 < 4\sqrt{6} < 10$。したがって、$-10 \leq x \leq 9.79...$

$k \leq x \leq k + 3$ と $-10 \leq x \leq 4\sqrt{6}$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在します。

整数 $x$ は、-10, -9, ..., 8, 9のいずれかです。

$k \leq x \leq k + 3$の幅は3なので、整数が4つ入る可能性があります。

$x$が2個なので、$k \leq x \leq k + 3$の範囲に整数が2個入る必要があります。

$k \leq -10 \leq k + 3$のとき、$k \leq -10$かつ$k+3 \geq -10$なので、$k \leq -10$かつ$k \geq -13$。$-13 \leq k \leq -10$となります。

$k + 3 = -9$のとき、$k = -12$ですが、このとき整数解は-12, -11, -10, -9と4つ存在します。

$k + 3 = -8$のとき、$k = -11$ですが、このとき整数解は-11, -10, -9, -8と4つ存在します。

$k \leq x \leq k + 3$の中に2個の整数解を持つためには、$k > -10.00001$などとする必要があります。このとき，$k$は整数ではないので，この解は考えなくて良いです。

$k \leq 8 \leq k + 3$かつ$k \leq 9 \leq k + 3$の場合を考えます。

$k \leq 8$かつ$k + 3 \geq 8$より、$5 \leq k \leq 8$

$k \leq 9$かつ$k + 3 \geq 9$より、$6 \leq k \leq 9$

なので、$k=6, 7, 8$のときを考えます。

$k = 6$のとき、$6 \leq x \leq 9$なので、$x=6, 7, 8, 9$。これは条件を満たさない。

$k = 7$のとき、$7 \leq x \leq 10$なので、$x=7, 8, 9$。これは条件を満たさない。

$k = 8$のとき、$8 \leq x \leq 11$なので、$x=8, 9$。これは条件を満たす。

$k = 9$のとき、$9 \leq x \leq 12$なので、$x=9$。これは条件を満たさない。

$k \leq x \leq k+3$にちょうど2個の整数解を持つためには、$k = 7$とする。

$k < x \le k + 1$.

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20, \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-10 \leq x \leq 4\sqrt{6}$, $k=7$