不等式 $\frac{|4m-3|}{\sqrt{m^2+1}} \leq 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{|4m-3|}{\sqrt{m^2+1}} \leq 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺を2乗します。

$\frac{(4m-3)^2}{m^2+1} \leq 1$

次に、両辺に $m^2+1$ を掛けます。$m^2+1$ は常に正なので、不等号の向きは変わりません。

$(4m-3)^2 \leq m^2+1$

左辺を展開します。

$16m^2 - 24m + 9 \leq m^2+1$

不等式の右辺を左辺に移項します。

$15m^2 - 24m + 8 \leq 0$

二次不等式を解くために、$15m^2 - 24m + 8 = 0$ を解きます。

解の公式を用いると

$m = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(15)(8)}}{2(15)} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 480}}{30} = \frac{24 \pm \sqrt{96}}{30} = \frac{24 \pm 4\sqrt{6}}{30} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{15}$

したがって、二次不等式 $15m^2 - 24m + 8 \leq 0$ の解は

$\frac{12 - 2\sqrt{6}}{15} \leq m \leq \frac{12 + 2\sqrt{6}}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{12 - 2\sqrt{6}}{15} \leq m \leq \frac{12 + 2\sqrt{6}}{15}$