次の和を求めよ。 $3^2 + 5^2 + 7^2 + \dots + (2n+1)^2$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$3^2 + 5^2 + 7^2 + \dots + (2n+1)^2$

2. 解き方の手順

この数列は、初項が $3^2 = 9$、末項が $(2n+1)^2$ の奇数の二乗の和です。

一般に、奇数の数列は $2k-1$ と表すことができます。

この問題では、初項が3であるため、 $k=2$ から始まる数列と考えることができます。

$3 = 2(2) - 1$

$5 = 2(3) - 1$

$7 = 2(4) - 1$

$\dots$

$2n+1 = 2(n+1) - 1$

したがって、与えられた和は、

$\sum_{k=2}^{n+1} (2k-1)^2 = \sum_{k=2}^{n+1} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=2}^{n+1} k^2 - 4\sum_{k=2}^{n+1} k + \sum_{k=2}^{n+1} 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

$\sum_{k=2}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n+1} k^2 - 1^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} - 1 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3) - 6}{6}$

$\sum_{k=2}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n+1} k - 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2} - 1 = \frac{(n+1)(n+2) - 2}{2}$

$\sum_{k=2}^{n+1} 1 = (n+1) - 1 = n$

求める和は、

$4\sum_{k=2}^{n+1} k^2 - 4\sum_{k=2}^{n+1} k + \sum_{k=2}^{n+1} 1 = 4 \left(\frac{(n+1)(n+2)(2n+3) - 6}{6}\right) - 4 \left(\frac{(n+1)(n+2) - 2}{2}\right) + n$

$= \frac{2}{3} ((n+1)(n+2)(2n+3) - 6) - 2 ((n+1)(n+2) - 2) + n$

$= \frac{2}{3} (2n^3 + 9n^2 + 13n + 6 - 6) - 2 (n^2 + 3n + 2 - 2) + n$

$= \frac{2}{3} (2n^3 + 9n^2 + 13n) - 2 (n^2 + 3n) + n$

$= \frac{4}{3} n^3 + 6n^2 + \frac{26}{3} n - 2n^2 - 6n + n$

$= \frac{4}{3} n^3 + 4n^2 + \frac{5}{3} n$

$= \frac{n(4n^2 + 12n + 5)}{3} = \frac{n(2n+1)(2n+5)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n+1)(2n+5)}{3}$