与えられた指数関数の逆関数である対数関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた指数関数の逆関数である対数関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2^x$ の逆関数を求める。

$x$ と $y$ を入れ替えて $x = 2^y$ とする。

この式を $y$ について解くと $y = \log_2 x$ となる。

(2) $y = 3^{x+1}$ の逆関数を求める。

$x$ と $y$ を入れ替えて $x = 3^{y+1}$ とする。

両辺の対数をとると $\log_3 x = y + 1$ となる。

したがって、 $y = \log_3 x - 1$ となる。

(3) $y = 3^x + 1$ の逆関数を求める。

$x$ と $y$ を入れ替えて $x = 3^y + 1$ とする。

$3^y = x - 1$ となる。

両辺の対数をとると $y = \log_3 (x - 1)$ となる。

(4) $y = 3 \cdot 2^{2x} - 1$ の逆関数を求める。

$x$ と $y$ を入れ替えて $x = 3 \cdot 2^{2y} - 1$ とする。

$x + 1 = 3 \cdot 2^{2y}$ となる。

$\frac{x+1}{3} = 2^{2y}$ となる。

両辺の対数をとると $\log_2 \left(\frac{x+1}{3}\right) = 2y$ となる。

したがって、 $y = \frac{1}{2} \log_2 \left(\frac{x+1}{3}\right)$ となる。

これは $y = \log_2 \sqrt{\frac{x+1}{3}}$ とも書ける。

3. 最終的な答え

1. $y = \log_2 x$

2. $y = \log_3 x - 1$

3. $y = \log_3 (x - 1)$

4. $y = \frac{1}{2} \log_2 \left(\frac{x+1}{3}\right)$