与えられた方程式 $|-2 - 2a| / \sqrt{4a^2+1} = \sqrt{2} / 2$ を解いて、$a$の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $|-2 - 2a| / \sqrt{4a^2+1} = \sqrt{2} / 2$ を解いて、$a$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、方程式の両辺に$\sqrt{4a^2+1}$をかけます。

$|-2-2a| = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{4a^2+1}$

次に、両辺を2で割ります。

$|-1-a| = \frac{\sqrt{2}}{4}\sqrt{4a^2+1}$

絶対値を外すために、両辺を二乗します。

$(-1-a)^2 = (\frac{\sqrt{2}}{4})^2(4a^2+1)$

$(1+a)^2 = \frac{2}{16}(4a^2+1)$

$(1+a)^2 = \frac{1}{8}(4a^2+1)$

$1+2a+a^2 = \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{8}$

両辺に8をかけます。

$8+16a+8a^2 = 4a^2+1$

$4a^2+16a+7 = 0$

この2次方程式を解きます。解の公式$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$を使うと、

$a = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 112}}{8}$

$a = \frac{-16 \pm \sqrt{144}}{8}$

$a = \frac{-16 \pm 12}{8}$

$a = \frac{-16+12}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

$a = \frac{-16-12}{8} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2}$

これら２つの解を元の式に代入して確認します。

$a=-\frac{1}{2}$の場合：

$\frac{|-2-2(-\frac{1}{2})|}{\sqrt{4(-\frac{1}{2})^2+1}} = \frac{|-2+1|}{\sqrt{4(\frac{1}{4})+1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a=-\frac{7}{2}$の場合：

$\frac{|-2-2(-\frac{7}{2})|}{\sqrt{4(-\frac{7}{2})^2+1}} = \frac{|-2+7|}{\sqrt{4(\frac{49}{4})+1}} = \frac{|5|}{\sqrt{49+1}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$a=-\frac{1}{2}, -\frac{7}{2}$はどちらも解です。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}, -\frac{7}{2}$