$t$ の値が変化するとき、放物線 $y=x^2 + 2(t-1)x - 4t + 5$ の頂点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

$t$ の値が変化するとき、放物線 $y=x^2 + 2(t-1)x - 4t + 5$ の頂点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線の式を平方完成して、頂点の座標を $t$ の式で表します。

$y = x^2 + 2(t-1)x - 4t + 5$

$y = (x + (t-1))^2 - (t-1)^2 - 4t + 5$

$y = (x + t - 1)^2 - (t^2 - 2t + 1) - 4t + 5$

$y = (x + t - 1)^2 - t^2 - 2t + 4$

したがって、頂点Pの座標は $(-t+1, -t^2-2t+4)$ と表せます。

次に、頂点Pの座標を $(X, Y)$ とおきます。すると、

$X = -t + 1$

$Y = -t^2 - 2t + 4$

となります。

$X = -t + 1$ より、 $t = 1 - X$ となります。この式を $Y = -t^2 - 2t + 4$ に代入します。

$Y = -(1-X)^2 - 2(1-X) + 4$

$Y = -(1 - 2X + X^2) - 2 + 2X + 4$

$Y = -1 + 2X - X^2 - 2 + 2X + 4$

$Y = -X^2 + 4X + 1$

したがって、$Y = -X^2 + 4X + 1$ が軌跡の方程式となります。

これを $x, y$ で書き換えると、$y = -x^2 + 4x + 1$ となります。

さらに、$y = -(x-2)^2 + 5$ と変形できるので、これは上に凸な放物線です。

また、$x$ がどのような値をとっても $t$ は存在するので、放物線全体が軌跡となります。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x + 1$