関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域が $0 \le x \le 3$ のときの、最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域が $0 \le x \le 3$ のときの、最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{4}$

したがって、$f(x) = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{4}$ となります。

これは上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, \frac{1}{4})$ です。

定義域は $0 \le x \le 3$ なので、この範囲における最大値と最小値を考えます。

頂点のx座標は1なので、定義域内にあり、最大値は $f(1) = \frac{1}{4}$ です。

次に最小値を考えます。

$x=0$ のとき $f(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

$x=3$ のとき $f(3) = -\frac{1}{2}(3)^2 + 3 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{2} + 3 - \frac{1}{4} = -\frac{18}{4} + \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$

したがって、$f(0) = -\frac{1}{4}$ と $f(3) = -\frac{7}{4}$ を比較すると、最小値は $f(3) = -\frac{7}{4}$ です。

3. 最終的な答え

最大値は $\frac{1}{4}$ であり、最小値は $-\frac{7}{4}$ です。