2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解け。また、不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解け。また、不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の解を求める。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より、$a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) 解と係数の関係から、$a+b = 4, ab = -2$

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 4^2 - 2(-2) = 16 + 4 = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解く。

$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$\frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{1}{-5 + 2\sqrt{6}} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{(-5 + 2\sqrt{6})(-5 - 2\sqrt{6})} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = -5 - 2\sqrt{6}$

$|\frac{a}{b}| = |-5 + 2\sqrt{6}| = -5 + 2\sqrt{6} \approx -5 + 2 \times 2.449 = -5 + 4.898 = -0.102$

$|\frac{b}{a}| = |-5 - 2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6} \approx 5 + 2 \times 2.449 = 5 + 4.898 = 9.898$

$|x - (-5 + 2\sqrt{6})| \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-5 - 2\sqrt{6} \le x + 5 - 2\sqrt{6} \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-10 \le x \le 4\sqrt{6} \approx 4*2.449=9.796$

$-10 \le x \le 9.796$

よって、$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

$k \le x \le k+3$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個。不等式を満たす整数は -10, -9, ..., 9 の20個。

$k \le x \le k+3$を満たす整数が2個なので、幅が3の間で2つの整数を含む。

例えば、$k = -2.5$ のとき、$-2.5 \le x \le 0.5$ となり、$x = -2, -1, 0$ の３つの整数を含むので、条件を満たさない。

$x$ は整数なので $k \le n, n+1 \le k+3$, $n+2 > k+3$, $n-1 < k$

$k \le x \le k+3$に含まれる整数が2個なので $k \le n, n+1 \le k+3, n+2 > k+3$, $n-1<k$となる整数$n,n+1$が存在する。

$k \le n$, $k \le n+1$, $k > n-1$から、$n-1 < k \le n$

$k+3 \ge n+1$と$k+3 < n+2$から、$n+1 \le k+3 < n+2$

$n-1 < k \le n$ と $n+1 \le k+3 < n+2$ を満たす $k$ の範囲を求める。

$n-1 < k \le n$ より、$k < n+2$

$n+1 \le k+3 < n+2$ より、$n-2 \le k < n-1$

$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$を満たす整数 $n, n+1$

$x=-10$から$x=9$までの範囲を考えます。

この範囲で $k$ の範囲を考える。

$k > n-1$を満たすので、$x$ は整数から

$-10 \le k+3 < 9+2 =11$

$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

$-10 \le k < -9$のとき $x=-10$が範囲外のため、$n=1$から2個になることはない

$n-2 \le k<n-1$

-10,-9,-8,..,0,1,...9

kの値を求める

n=k

k+3 >= n+1

k <n+2

3. 最終的な答え

$n-2 \le k < n-1$

$-10 \le x \le 9$の範囲で探す。

$x=-10,-9$ を含むとき、$k< n+2$

$k \le x$

2個の整数を満たすには$n-2 \le k \le n-1$

$6 < 4\sqrt{6} \le 7$ なので、整数は $6,7,8,9$

$4 \le k<5$

最終的に、$-2 \le k < -1, -1 \le k < 0$, $\ldots$, $6 \le k < 7$となる。

$k < n-1< k \le k+4$

答え: $5<k\le 6$