2次方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

与えられた2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$

$$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$

が成り立ちます。

この問題の場合、$a=1$, $b=3$, $c=-2$ なので、

$$\alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$$

$$\alpha \beta = \frac{-2}{1} = -2$$

次に、$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ を計算します。

$$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$$

ここで、$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)$ と $\alpha \beta$ で表します。

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$$

$\alpha + \beta = -3$ と $\alpha \beta = -2$ を代入すると、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (-3)^2 - 2(-2) = 9 + 4 = 13$$

したがって、

$$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{13}{-2} = -\frac{13}{2}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{13}{2}$