数列 $1 \cdot 4, 2 \cdot 5, 3 \cdot 6, \dots, n(n+3)$ の和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot 4, 2 \cdot 5, 3 \cdot 6, \dots, n(n+3)$ の和を求める。

2. 解き方の手順

数列の一般項は $a_n = n(n+3) = n^2 + 3n$ と表せる。

この数列の第1項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k)$

と表せる。

$\sum$ の性質を利用して、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k$

となる。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{9n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+9)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+10)}{6}$

$= \frac{n(n+1)2(n+5)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(n+5)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+5)}{3}$