4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

## 問題 (4) の解答

1. 問題の内容

4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

1 & -2 & -2 & -8 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

ステップ1: 1行目を基準にして、3行目の1列目の要素を0にする。

3行目に (-1/2) * 1行目を足す。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}$

ステップ2: 1行目を基準にして、4行目の1列目の要素を0にする。

4行目に (-1) * 1行目を足す。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & -1 & 5 & 2

\end{vmatrix}$

ステップ3: 1行目を基準にして、2行目の1列目の要素を0にする。

2行目に (3) * 1行目を足す。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & -1 & 5 & 2

\end{vmatrix}$

ステップ4: 2行目を基準にして、4行目の2列目の要素を0にする。

4行目に (1) * 2行目を足す。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & 0 & 4 & 12

\end{vmatrix}$

ステップ5: 3行目を基準にして、4行目の3列目の要素を0にする。

4行目に (-8) * 3行目を足す。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & 0 & 0 & 92

\end{vmatrix}$

行列式は、対角成分の積で計算できます。

$2 * 1 * (1/2) * 92 = 92$

3. 最終的な答え

92

## 問題 (6) の解答

1. 問題の内容

3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

1/4 & 1/6 & 2/3 \\

1/12 & 1/6 & 1/4 \\

1/4 & 0 & 1/6

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を直接計算します。

$\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

1/4 & 1/6 & 2/3 \\

1/12 & 1/6 & 1/4 \\

1/4 & 0 & 1/6

\end{vmatrix}

&= (1/4)(1/6)(1/6) + (1/6)(1/4)(1/4) + (2/3)(1/12)(0) - (2/3)(1/6)(1/4) - (1/4)(1/4)(0) - (1/6)(1/12)(1/6) \\

&= 1/144 + 1/96 + 0 - 1/36 - 0 - 1/432 \\

&= 3/432 + 4.5/432 + 0 - 12/432 - 0 - 1/432 \\

&= (3 + 4.5 - 12 - 1) / 432 \\

&= (7.5 - 13) / 432 \\

&= -5.5 / 432 \\

&= -11 / 864

\end{aligned}$

3. 最終的な答え

-11/864

## 問題 (7) の解答

1. 問題の内容

3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

99 & 100 & 101 \\

100 & 99 & 100 \\

101 & 101 & 99

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

ステップ1: 1行目を基準にして、2行目の1列目の要素を0にする。

2行目に (-1) * 1行目を足す。

$\begin{vmatrix}

99 & 100 & 101 \\

1 & -1 & -1 \\

101 & 101 & 99

\end{vmatrix}$

ステップ2: 1行目を基準にして、3行目の1列目の要素を0にする。

3行目に (-101/99) * 1行目を足す。しかし、計算が複雑になるため、別の方法を試みます。

元の行列に対して以下の変形を行います。

1列目から2列目を引きます。

$\begin{vmatrix}

-1 & 100 & 101 \\

1 & 99 & 100 \\

0 & 101 & 99

\end{vmatrix}$

3列目から2列目を引きます。

$\begin{vmatrix}

-1 & 100 & 1 \\

1 & 99 & 1 \\

0 & 101 & -2

\end{vmatrix}$

1列目に3列目を足します。

$\begin{vmatrix}

0 & 100 & 1 \\

2 & 99 & 1 \\

-2 & 101 & -2

\end{vmatrix}$

行列式を計算します。

$0(99 \times -2 - 101) - 100(2\times -2 - (-2)) + 1(2 \times 101 - (-2) \times 99)$

$= 0 -100(-4 + 2) + 1(202+198)$

$= -100(-2) + 400$

$= 200+400=600$

3. 最終的な答え

600