x, yは実数とする。次の命題の真偽を調べ、また、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べる。 (1) $x > y \implies x - y > 0$ (2) $x \neq 0 \implies xy \neq 0$

1. 問題の内容

x, yは実数とする。次の命題の真偽を調べ、また、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べる。

(1) $x > y \implies x - y > 0$

(2) $x \neq 0 \implies xy \neq 0$

2. 解き方の手順

(1) $x > y \implies x - y > 0$

- 真偽:

$x > y$ ならば、$x - y > 0$ は常に成り立つので、真。

- 逆:

$x - y > 0 \implies x > y$。これも常に成り立つので、真。

- 対偶:

$x - y \leq 0 \implies x \leq y$。これは元の命題が真なので、真。

- 裏:

$x \leq y \implies x - y \leq 0$。これも元の命題が真なので、真。

(2) $x \neq 0 \implies xy \neq 0$

- 真偽:

$x \neq 0$ であっても、もし $y = 0$ ならば、$xy = 0$ となるので、偽。

- 逆:

$xy \neq 0 \implies x \neq 0$。$xy \neq 0$ ならば、$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ なので、真。

- 対偶:

$xy = 0 \implies x = 0$。$xy = 0$ ならば、$x = 0$ または $y = 0$ なので、$x=0$とは限らない。偽。

- 裏:

$x = 0 \implies xy = 0$。$x = 0$ ならば、$xy = 0$ は常に成り立つので、真。

3. 最終的な答え

(1) $x > y \implies x - y > 0$

- 真偽: 真

- 逆: $x - y > 0 \implies x > y$。真

- 対偶: $x - y \leq 0 \implies x \leq y$。真

- 裏: $x \leq y \implies x - y \leq 0$。真

(2) $x \neq 0 \implies xy \neq 0$

- 真偽: 偽

- 逆: $xy \neq 0 \implies x \neq 0$。真

- 対偶: $xy = 0 \implies x = 0$。偽

- 裏: $x = 0 \implies xy = 0$。真